Question

Обчисліть суму 1/√3+√7 + 1/√7+√11 + 1/√11+√15 + ... + 1/√27+√31​

Answer 1

Ответ:в закрепе

Объяснение

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, предлагаю рассмотреть общий вид каждого слагаемого.

Обратим внимание, что каждое слагаемое имеет вид 1/√(n) + √(n+4), где n - натуральное число.

Теперь можем приступить к вычислению суммы данных слагаемых.

1/√3 + √7 = (√7 - √3)/(√3 * √7) = (√7 - √3)/(√21)

1/√7 + √11 = (√11 - √7)/(√7 * √11) = (√11 - √7)/(√77)

1/√11 + √15 = (√15 - √11)/(√11 * √15) = (√15 - √11)/(√165)

...

1/√27 + √31 = (√31 - √27)/(√27 * √31) = (√31 - √27)/(√837)

Теперь осталось просуммировать все эти дроби:

(√7 - √3)/(√21) + (√11 - √7)/(√77) + (√15 - √11)/(√165) + ... + (√31 - √27)/(√837)

Чтобы сложить эти дроби, необходимо общий знаменатель. В данном случае общим знаменателем является произведение всех используемых знаменателей √21 * √77 * √165 * ... * √837.

Рассмотрим числитель:

(√7 - √3) = ((√7 - √3)/(√7 - √3)) * (√7 - √3) = (√7*√7 - √7*√3 - √7*√3 + √3*√3)/(√7 - √3) = (7 - 3)/(√7 - √3) = 4/(√7 - √3)

Аналогично для остальных числителей:

(√11 - √7) = 4/(√11 - √7)
(√15 - √11) = 4/(√15 - √11)
...

Теперь суммируем числители:

4/(√7 - √3) + 4/(√11 - √7) + 4/(√15 - √11) + ... + 4/(√31 - √27)

Таким образом, итоговая сумма равна:

4/(√7 - √3) + 4/(√11 - √7) + 4/(√15 - √11) + ... + 4/(√31 - √27)

P.S. В уравнениях использованы правила решения уравнений с радикалами (частный случай правила умножения и деления сопряженных радикалов).