Question

Докажите, что заданное неравенство выполняется при любых значениях переменных: а)2x^2+6xy+11y^2≥0 б)4xy-6x^2-3y^2≤0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

 если X и Y  одного знака( > или <0). то все три одночлена будут положительны, значит и их сумма будет >0 , если Х и Y будут с разными знаками  (X<0, Y>0   или  X>0, y<0), то второй одночлен будет <0 ,  а первый и третий  >0 , но сумма их коэффициентов всё равно будет  >0  т.е.( 2+(-6)+11>0).  Если и Х и  Y   =0, то всё неравенство =0. Отсюда вывод, что неравенство всегда ≥0.

б) второй и третий одночлены будут всегда <0 независимо от знака , так как их коэффициенты отрицательны. Если X   и Y   одного знака

( оба > или < 0 )   то первый одночлен будет >0   , но неравенство будет <0        так как   4-6-3 <0.  

Если  X и Y  имеют разные знаки то первый одночлен тоже будет <0.  Значит и всё неравенство будет <0 .   -4-6-2<0

Если   X   и  Y =0, то всё неравенство =0  

Answer 2

а) Для доказательства данного неравенства, мы можем использовать метод анализа дискриминанта квадратного трехчлена.

Рассмотрим квадратное выражение 2x^2 + 6xy + 11y^2.

Дискриминант такого квадратного трехчлена вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = 6 и c = 11.

Подставим значения в формулу и вычислим:

D = (6^2) - 4 * 2 * 11 = 36 - 88 = -52.

Значение дискриминанта D отрицательное, что означает, что уравнение 2x^2 + 6xy + 11y^2 = 0 не имеет действительных корней.

Теперь рассмотрим квадратное выражение 2x^2 + 6xy + 11y^2 заменой переменных.

Пусть u = x + ky, где k - некоторая константа.

Подставим это значение в исходное неравенство и получим:

2(x + ky)^2 + 6(x + ky)y + 11y^2 ≥ 0.

Раскроем скобки и упростим выражение:

2x^2 + 4kxy + 2k^2y^2 + 6xy + 6k^2y^2 + 11y^2 ≥ 0.

Упростим:

2x^2 + 4kxy + 2k^2y^2 + 6xy + 6k^2y^2 + 11y^2
= (2 + 4k + 6)x^2 + (2k^2 + 4k + 6k^2 + 11)y^2
= (2 + 4k + 6)x^2 + (8k^2 + 4k + 11)y^2.

Теперь подберем значения k так, чтобы выражение (2 + 4k + 6)x^2 + (8k^2 + 4k + 11)y^2 ≥ 0 при любых значениях x и y.

Для этого нужно, чтобы коэффициент при x^2 был неотрицательным, а коэффициент при y^2 также был неотрицательным.

(2 + 4k + 6) ≥ 0 и (8k^2 + 4k + 11) ≥ 0.

Решим эти неравенства:

2 + 4k + 6 ≥ 0
10 + 4k ≥ 0
4k ≥ -10
k ≥ -10/4
k ≥ -5/2.

8k^2 + 4k + 11 ≥ 0
8(k^2 + 1/2k) + 11 ≥ 0
4(k^2 + 1/2k) + 5.5 ≥ 0
4(k + 1/4)^2 + 5.5 - 1/4 ≥ 0
4(k + 1/4)^2 + 5.25 ≥ 0.

Оба неравенства выполняются при любых значениях k.

Таким образом, заданное неравенство 2x^2 + 6xy + 11y^2 ≥ 0 выполняется при любых значениях переменных.

б) Для доказательства данного неравенства, можно воспользоваться методом полного квадрата.

Рассмотрим квадратное выражение 4xy - 6x^2 - 3y^2.

Преобразуем его, чтобы получить выражение в виде полного квадрата.

Выделим коэффициент перед x в первых двух членах и после y в последнем члене:

4xy - 6x^2 - 3y^2 = -6(x^2 - (4/6)xy) - 3y^2
= -6(x^2 - (2/3)xy) - 3y^2
= -6((x - (1/3)y)^2 - (1/9)y^2) - 3y^2.

Раскроем скобки:

-6((x - (1/3)y)^2 - (1/9)y^2) - 3y^2
= -6(x - (1/3)y)^2 + 2/3y^2 - 3y^2
= -6(x - (1/3)y)^2 - 1/3y^2.

Теперь заметим, что выражение -6(x - (1/3)y)^2 - 1/3y^2 является суммой двух отрицательных чисел: -6(x - (1/3)y)^2 и -1/3y^2.

Так как сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна или равна нулю, то получаем:

-6(x - (1/3)y)^2 - 1/3y^2 ≤ 0.

Таким образом, заданное неравенство 4xy - 6x^2 - 3y^2 ≤ 0 выполняется при любых значениях переменных.