Question

Игральную кость бросают три раза. Событие А - выпадение грани с нечётным количеством очков. - Составить в виде таблицы закон распределения частоты появления события А - Рассчитать её математическое ожидание и дисперсию - Рассчитать вероятность появления события А хотя бы в одном испытании

Answer 1

Ответ:

Xi        0         1/3         2/3          1  

Pi       1/8        3/8        3/8        1/8

M[X]=1/2; D[X]=1/12; p=0,875.

Объяснение:

Частота появления события А является случайной величиной, обозначим её через X.

Так как грань с нечётным количеством очков может выпасть 0, 1, 2 или 3 раза, то частота появления принимает значения 0, 1/3, 2/3 и 1. При этом так как на игральной кости 3 грани с нечётным количеством очков и 3 - с чётным, то вероятность события А в одном опыте (то есть при одном бросании кости) равна 3/6=1/2. Найдём соответствующие вероятности:

P0=1/2*1/2*1/2=1/8; P1=3*1/2*1/2*1/2=3/8; P2=3*1/2*1/2*1/2=3/8; P3=1/2*1/2*1/2=1/8.

Проверка: p0+p1+p2+p3=1, так что вероятности найдены верно. Составляем закон распределения частоты появления события А:

Xi        0          1/3        2/3          1  

Pi       1/8        3/8        3/8        1/8

Математическое ожидание M[X]=∑Xi*Pi=1/2; дисперсия D[X]=∑(Xi-M[X])²*Pi=1/12. Пусть событие А1 заключается в том, что событие A появится хотя бы в одном испытании. Для нахождения вероятности P(A1) рассмотрим противоположное ему событие B1, которое заключается в том, что грань с нечётным количеством очков не появится ни при одном броске. Так как события A1 и B1 - независимые и притом образуют полную группу, то P(A1)+P(B1)=1, откуда P(A1)=1-P(B1). А так как P(B1)=1/2*1/2*1/2=1/8, то P(A1)=1-1/8=7/8=0,875.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся методом геометрической вероятности.

Игральная кость имеет 6 граней, пронумерованных числами от 1 до 6. На нечётных гранях находятся числа 1, 3 и 5.

Событие А - выпадение грани с нечётным количеством очков.

Вероятность выпадения нечётного числа на одном броске равна 3/6 = 1/2.

Теперь составим таблицу закона распределения частоты появления события А:

| Количество выпадений А | Вероятность |
|------------------------|-------------|
| 0 | (1/2)^3 |
| 1 | 3*(1/2)^2*(1/2) |
| 2 | 3*(1/2)*(1/2)^2 |
| 3 | (1/2)^3 |

Для расчета математического ожидания воспользуемся формулой:
E(X) = Σ (x_i * p_i),
где X - случайная величина, x_i - значения случайной величины, p_i - вероятности выпадения соответствующих значений.

E(X) = 0 * (1/2)^3 + 1 * 3*(1/2)^2*(1/2) + 2 * 3*(1/2)*(1/2)^2 + 3 * (1/2)^3
= 0 + 3*(1/8) + 2*(1/8) + 3*(1/8)
= 3/8 + 1/4 + 3/8
= 7/8

Таким образом, математическое ожидание равно 7/8.

Для расчета дисперсии воспользуемся формулой:
D(X) = Σ ((x_i - E(X))^2 * p_i)

D(X) = (0 - 7/8)^2 * (1/2)^3 + (1 - 7/8)^2 * 3*(1/2)^2*(1/2) + (2 - 7/8)^2 * 3*(1/2)*(1/2)^2 + (3 - 7/8)^2 * (1/2)^3
= (7/8)^2 * (1/8) + (1/8)^2 * 3*(1/2)^2*(1/2) + (3/8)^2 * 3*(1/2)*(1/2)^2 + (1/8)^2 * (1/8)
= (49/64) * (1/8) + (1/64) * 3*(1/4) + (9/64) * 3*(1/8) + (1/64) * (1/8)
= 49/512 + 3/256 + 27/512 + 1/512
= 128/512
= 1/4

Таким образом, дисперсия равна 1/4.

Для расчета вероятности появления события А хотя бы в одном испытании можно воспользоваться формулой:
P(A) = 1 - P(A') ,
где A' - отрицание события A.

W(A') = (1 - 1/2)^3
= 1/8

P(A) = 1 - 1/8
= 7/8

Таким образом, вероятность появления события А хотя бы в одном испытании составляет 7/8.