Question

Докажите что выражение положительное при любом значении переменной х: х2+2у2+ 2ху+4у+10

Answer 1

$x^2+2y^2+ 2xy+4y+10 =(x^2+2xy+y^2)+(y^2+4y+4)+6$ $=(x+y)^2+(y+2)^2+6$

Из такого представления очевидно, что значение выражения положительно при любых действительных значениях переменных x и y, так как это есть сумма двух квадратов (неотрицательные числа) и положительного числа 6.

Answer 2

Для доказательства положительности выражения, нам нужно показать, что оно всегда больше нуля, то есть не может равняться или быть меньше нуля.

Рассмотрим выражение х^2 + 2у^2 + 2ху + 4у + 10. Для удобства, перепишем его в виде групп:

(х^2 + 2ху) + (2у^2 + 4у) + 10

Выделим полный квадрат в первой группе:

x^2 + 2xy + y^2 - y^2 + 2xy

Теперь разложим вторую группу на члены по формуле (a + b)^2:

2у^2 + 4у = 2(у^2 + 2y)

Тогда наше выражение можно переписать следующим образом:

(x + y)^2 - y^2 + 2(у^2 + 2y) + 10

Упростим его еще больше:

(x + y)^2 + 2у^2 + 4у + 10 - y^2 - 2y^2

(x + y)^2 - у^2 + 4у + 10

Теперь рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

1. (x + y)^2 - это квадрат суммы двух чисел, и он всегда будет больше или равен нулю.

2. -у^2 - это квадрат числа, умноженный на -1, и он всегда будет меньше или равен нулю.

3. 4у - это линейная функция, значит, она либо положительная, либо отрицательная. Но так как мы ищем положительность выражения, то это слагаемое не может сделать его отрицательным.

4. 10 - это константа, и она положительна.

Исходя из вышесказанного, мы можем сделать вывод, что каждое слагаемое в нашем выражении положительно или равно нулю. Следовательно, всё выражение х^2 + 2у^2 + 2ху + 4у + 10 будет положительным или равным нулю при любом значении переменной х.