Question

Упростите выражение sin(3x-pi/4)*sin(2x+pi/4)-1/2sinx

Answer 1

((sin(2*x)+cos(2*x))*sin(3*x)+(-sin(2*x)-cos(2*x))*cos(3*x)-sin(x))/2=-cos(5*x)/2

Answer 2

Конечно, давайте упростим данное выражение шаг за шагом.

Исходное выражение: \[ \sin(3x-\frac{\pi}{4}) \cdot \sin(2x+\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2} \sin(x) \]

Сначала воспользуемся формулой произведения синусов: \[ \sin(A) \cdot \sin(B) = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] \]

Применим эту формулу к исходному выражению:

\[ \frac{1}{2} [\cos(3x-\frac{\pi}{4} - (2x+\frac{\pi}{4})) - \cos(3x-\frac{\pi}{4} + 2x+\frac{\pi}{4})] - \frac{1}{2} \sin(x) \]

Теперь упростим выражения внутри косинусов: \[ \frac{1}{2} [\cos(x-\pi) - \cos(5x)] - \frac{1}{2} \sin(x) \]

\[ \frac{1}{2} [-\cos(x) - \cos(5x)] - \frac{1}{2} \sin(x) \]

Теперь учтем, что \( \cos(x-\pi) = -\cos(x) \), и упростим выражение еще дальше: \[ -\frac{1}{2} \cos(5x) - \frac{1}{2} \sin(x) \]

Итак, упрощенное выражение: \[ -\frac{1}{2} \cos(5x) - \frac{1}{2} \sin(x) \]