Question

Помогите найти наименший положительный корень: 1+cos2x=(cos2x+sin2x)^ ^ - это квадрат

Answer 1

1+cos2x=(cos2x+sin2x)²
1+cos2x=cos²2x+ 2sin2xcos2x+sin²2x
1+cos2x=2sin2xcos2x+(cos²2x+sin²2x)
1+cos2x=2sin2xcos2x+1
cos2x=2sin2xcos2x
2sin2xcos2x-cos2x=0
cos2x(2sin2x-1)=0
cos2x=0            или               sin2x=1/2
2x=π/2+πn, n∈z                     2x=(-1)^k*π/6+πk, k∈z
x=π/4+π/2n, n∈z                    x=(-1)^k*π/12+π/2k, k∈z   
при n=0:                                 при k=0:
x= π/4                                     x=π/12
Ответ.x=π/12

Answer 2

Чтобы найти наименьший положительный корень уравнения 1 + cos^2(x) = (cos^2(x) + sin^2(x))^2, мы можем применить различные методы решения уравнений. Давайте начнем:

Шаг 1: Приведение уравнения к более простой форме

Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения уравнения. Используя тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1, мы можем заменить выражение (cos^2(x) + sin^2(x))^2 в уравнении:

1 + cos^2(x) = (cos^2(x) + sin^2(x))^2 1 + cos^2(x) = 1^2 1 + cos^2(x) = 1 cos^2(x) = 0

Теперь мы имеем уравнение cos^2(x) = 0.

Шаг 2: Решение уравнения cos^2(x) = 0

Уравнение cos^2(x) = 0 означает, что косинус квадрата угла равен нулю. Это возможно только в двух случаях:

1) cos(x) = 0 2) x = (2n + 1) * π/2, где n - целое число

Теперь мы можем решить каждое уравнение по отдельности.

Шаг 3: Решение уравнения cos(x) = 0

Уравнение cos(x) = 0 имеет бесконечное количество решений, потому что косинус равен нулю в точках, находящихся на расстоянии π друг от друга на окружности. Некоторые из этих решений могут быть положительными, но мы ищем наименьший положительный корень.

Наименьший положительный корень уравнения cos(x) = 0 равен x = π/2.

Шаг 4: Решение уравнения x = (2n + 1) * π/2

Уравнение x = (2n + 1) * π/2 также имеет бесконечное количество решений, где n - целое число. Но мы ищем наименьший положительный корень.

Наименьший положительный корень этого уравнения равен x = π/2.

Ответ

Итак, наименьший положительный корень уравнения 1 + cos^2(x) = (cos^2(x) + sin^2(x))^2 равен x = π/2.