Question

Найдите область определения , критические точки , промежутки монотонности , точки экстремума и экстремумы функции

Answer 1

Область определения  $D(y)=R;$
$y'=-e^x+e;$
$y'=0;-e^x+e=0;e^x=e;x=1;$
$(- \infty;1]$   $y'>0$ функция возрастает
$[1;+ \infty)$   $y'$ функция убывает
____+___1___-___
х=1 точка максимума
$y(1)=2-e+e=2$ максимум

Answer 2

Определение области определения функции, критических точек, промежутков монотонности, точек экстремума и экстремумов функции включает в себя следующие шаги:

1. Область определения функции - это набор всех возможных значений аргумента функции. Она определяется доменами функции и может быть конечной, бесконечной или неопределенной.

2. Критические точки функции - это точки, в которых производная функции равна нулю или не определена. Эти точки могут быть точками экстремума или точками перегиба функции.

3. Промежутки монотонности функции - это интервалы, на которых функция возрастает или убывает. Если функция возрастает на интервале, то она строго монотонна на данном интервале. Аналогично, если функция убывает на интервале, то она строго антимонотонна на данном интервале.

4. Точки экстремума функции - это точки, в которых функция достигает максимального или минимального значения в пределах своей области определения. Точка называется точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство. Точка называется точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство .

5. Экстремумы функции - это максимальные или минимальные значения функции в пределах её области определения. Экстремум функции - это значение функции в точке её экстремума .

Пример расчета этих элементов для функции f(x) = x^3:

1. Область определения: f(x) = x^3 определена для всех вещественных чисел, поэтому область определения - это весь набор вещественных чисел.

2. Критические точки: производная f(x) = x^3 равна 3x^2. Критические точки находятся при x = 0.

3. Промежутки монотонности: функция f(x) = x^3 возрастает на всей своей области определения, поэтому все интервалы являются промежутками монотонности.

4. Точки экстремума: функция f(x) = x^3 имеет только одну точку экстремума в x = 0. Это минимум, поскольку функция растет на всей своей области определения.

5. Экстремумы: минимальное значение функции f(x) = x^3 равно 0, что достигается при x = 0 .