Question

A1=25, d=-2 , Sn=168 Найти an и n

Answer 1

смотри фото.........

Answer 2

Формула общего члена арифметической прогрессии \(a_n\) выражается через первый член \(A_1\), разность \(d\) и номер члена \(n\) следующим образом:

\[a_n = A_1 + (n - 1) \cdot d\]

Известно:

\(A_1 = 25\) (первый член)

\(d = -2\) (разность)

\(S_n = 168\) (сумма первых \(n\) членов)

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии также может быть выражена формулой:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (A_1 + a_n)\]

Мы можем использовать это уравнение, чтобы найти \(n\) (количество членов) и проверить сумму с учетом имеющихся данных.

Сначала выразим \(a_n\) через формулу общего члена:

\[a_n = A_1 + (n - 1) \cdot d\] \[a_n = 25 + (n - 1) \cdot (-2)\] \[a_n = 25 - 2n + 2\] \[a_n = 27 - 2n\]

Теперь используем формулу для суммы:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (A_1 + a_n)\] \[168 = \frac{n}{2} \cdot (25 + 27 - 2n)\] \[168 = \frac{n}{2} \cdot (52 - 2n)\] \[168 = \frac{n}{2} \cdot 52 - n^2\] \[168 = 26n - n^2\] \[n^2 - 26n + 168 = 0\]

Это квадратное уравнение. Решим его, чтобы найти значения \(n\):

\[n^2 - 26n + 168 = 0\]

Решим это уравнение с помощью факторизации или квадратного корня:

\[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 1\), \(b = -26\), и \(c = 168\).

\[n = \frac{26 \pm \sqrt{(-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168}}{2 \cdot 1}\] \[n = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 672}}{2}\] \[n = \frac{26 \pm \sqrt{4}}{2}\] \[n = \frac{26 \pm 2}{2}\]

Два возможных значения для \(n\) будут:

\[n_1 = \frac{26 + 2}{2} = \frac{28}{2} = 14\] \[n_2 = \frac{26 - 2}{2} = \frac{24}{2} = 12\]

Теперь найдем \(a_n\) для обоих случаев:

1. \(n = 14\): \[a_{14} = 27 - 2n = 27 - 2 * 14 = 27 - 28 = -1\]

2. \(n = 12\): \[a_{12} = 27 - 2n = 27 - 2 * 12 = 27 - 24 = 3\]

Таким образом, когда \(n = 14\), \(a_n = -1\), и когда \(n = 12\), \(a_n = 3\).

Проверим значение суммы \(S_n\) для \(n = 14\) и \(n = 12\) для подтверждения.

1. \(n = 14\): \[S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (25 + (-1)) = 7 \cdot 24 = 168\] - Верно

2. \(n = 12\): \[S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (25 + 3) = 6 \cdot 28 = 168\] - Верно

Таким образом, у нас есть два верных решения: \(n = 14\) с \(a_{14} = -1\) и \(n = 12\) с \(a_{12} = 3\).