Question

Найдите точки экстремума функции и определите их характер) y=x^3+3x^2+4

Answer 1

находим производную

y'=3x^2+6x

y'=0

x=0 x=-2

определяем смену знака производной

при x<-2 y'>0

при -2<х<0 y'<0

следовательно в точке -2 имеем максимум, а в 0 минимум

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции y = x^3 + 3x^2 + 4 сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем проведем вторую производную, чтобы определить характер этих точек.

1. Найдем производную функции y по x: y' = 3x^2 + 6x

2. Теперь приравняем y' к нулю и решим уравнение для поиска критических точек: 3x^2 + 6x = 0

Для начала, вынесем общий множитель, который равен 3x: 3x(x + 2) = 0

Таким образом, у нас есть два случая: a) 3x = 0 b) x + 2 = 0

a) 3x = 0 x = 0

b) x + 2 = 0 x = -2

Теперь у нас есть две критические точки: x = 0 и x = -2. Чтобы определить характер этих точек, найдем вторую производную функции y:

3. Найдем вторую производную: y'' = 6x + 6

Теперь подставим значения x = 0 и x = -2 во вторую производную:

a) Для x = 0: y''(0) = 6(0) + 6 = 6

b) Для x = -2: y''(-2) = 6(-2) + 6 = -12 + 6 = -6

Теперь определим характер критических точек:

a) Для x = 0: - Вторая производная y''(0) равна 6, что положительно. Это означает, что в точке x = 0 у нас есть минимум.

b) Для x = -2: - Вторая производная y''(-2) равна -6, что отрицательно. Это означает, что в точке x = -2 у нас есть максимум.

Итак, точка (0, 4) представляет собой минимум функции, а точка (-2, 0) - максимум функции y = x^3 + 3x^2 + 4.