Question

Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно, что 4a²+b²>=4ab

Answer 1

Перепишем так :4a^2-4ab+b^2 больше либо равно 0.

Но слева полный квадрат:

(2a-b)^2 больше либо равно 0    , что верно не только для натуральных, ео и для всех а и b

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение $4a^2 + b^2 - 4ab$ и попробуем доказать, что оно всегда неотрицательно для любых натуральных чисел $a$ и $b$.

Рассмотрим это выражение:

$4a^2 + b^2 - 4ab$

Мы можем переписать его в виде:

$a^2 + 2ab + b^2 - 4ab$

Теперь проведем преобразования:

$a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = (a - b)^2$

Таким образом, мы видим, что $4a^2 + b^2 - 4ab$ равно $(a - b)^2$. Так как это квадрат разности, то оно всегда неотрицательно.

Следовательно, мы доказали, что для любых натуральных чисел $a$ и $b$ верно, что $4a^2 + b^2 \geq 4ab$.