Question

Решить неравенство lgx + lg(13-2x) < 1 + lg2

Answer 1

$lgx+lg(13-2x)$

С помощью метода интервалов получаем, что неравенство верно при x < 2,5 и x > 4

Найдём ОДЗ:

13 - 2x > 0 и x > 0

2x < 13 и x > 0

x < 6,5 и x > 0

Запишем ответ, учитывая найденное ОДЗ

Ответ: (0; 2,5) ∪ (4; 6,5)

Answer 2

Для решения неравенства lg(x) + lg(13-2x) < 1 + lg(2), начнем с применения правила логарифмов, особенно правила сложения логарифмов:

1. Используем правило логарифмов для сложения: lg(x) + lg(13-2x) = lg(x * (13-2x)).

Теперь неравенство выглядит так: lg(x * (13-2x)) < 1 + lg(2).

2. Перенесем lg(2) на левую сторону неравенства: lg(x * (13-2x)) - lg(2) < 1.

3. Используем свойство логарифмов, что lg(a) - lg(b) = lg(a/b): lg((x * (13-2x))/2) < 1.

4. Уберем логарифмы и используем свойство логарифмов, что lg(c) < d эквивалентно c < 10^d: (x * (13-2x))/2 < 10.

5. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления на 2: x * (13-2x) < 20.

6. Раскроем скобки: 13x - 2x^2 < 20.

7. Переносим все на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: 2x^2 - 13x + 20 > 0.

8. Теперь решим это квадратное неравенство. Для этого найдем корни квадратного уравнения 2x^2 - 13x + 20 = 0.

Сначала находим корни квадратного уравнения:

x1 = (13 + √(13^2 - 4 * 2 * 20)) / (2 * 2) = (13 + √(169 - 160)) / 4 = (13 + √9) / 4 = (13 + 3) / 4 = 4.

x2 = (13 - √(13^2 - 4 * 2 * 20)) / (2 * 2) = (13 - √(169 - 160)) / 4 = (13 - √9) / 4 = (13 - 3) / 4 = 2.

Таким образом, корни квадратного уравнения равны 4 и 2.

9. Теперь мы знаем корни уравнения и можем построить знаки на интервалах между корнями и вне их. Рассмотрим три интервала:

   • Если x < 2, то (2x^2 - 13x + 20) > 0, так как оба корня больше 2.
   • Если 2 < x < 4, то (2x^2 - 13x + 20) < 0, так как функция убывает между корнями.
   • Если x > 4, то (2x^2 - 13x + 20) > 0, так как оба корня больше 4.

10. Теперь анализируем знаки в неравенстве 2x^2 - 13x + 20 > 0:

• Для интервала x < 2 неравенство выполняется, так как функция положительна.
• Для интервала 2 < x < 4 неравенство не выполняется, так как функция отрицательна.
• Для интервала x > 4 неравенство выполняется, так как функция положительна.

Итак, решение неравенства lg(x) + lg(13-2x) < 1 + lg(2) состоит из двух интервалов:

1. x < 2.
2. x > 4.