Question

Знайти найменше і найбільше значення функції на проміжку y=x^4-4x^3 [-1. 1]

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Щоб знайти найменше і найбільше значення функції $y = x^4 - 4x^3$ на проміжку $[-1, 1]$, спростимо завдання, знаходячи критичні точки та значення функції на кінцях проміжку.

1. Знаходження критичних точок:

   • Знайдемо похідну функції $y$ по $x$: $y' = 4x^3 - 12x^2$
   • Розв'яжемо рівняння $y' = 0$ для знаходження критичних точок: $4x^3 - 12x^2 = 0$
   • Виносимо з кожного члена $4x^2$: $4x^2(x - 3) = 0$
   • З цього рівняння отримуємо дві критичні точки: $x = 0$ і $x = 3$.

2. Знаходження значень на кінцях проміжку:

   • Розглянемо значення функції на кінцях проміжку: при $x = -1$ і $x = 1$.

3. Обчислення значень функції:

   • Підставимо значення критичних точок і кінців проміжку в оригінальну функцію: $y(-1) = (-1)^4 - 4(-1)^3 = 1 + 4 = 5$ $y(0) = (0)^4 - 4(0)^3 = 0$ $y(1) = (1)^4 - 4(1)^3 = 1 - 4 = -3$ $y(3) = (3)^4 - 4(3)^3 = 81 - 108 = -27$

Отже, мінімальне значення функції на проміжку $[-1, 1]$ дорівнює -27 і досягається в точці $x = 3$, а максимальне значення дорівнює 5 і досягається в точці $x = -1$.