Question

При каких значениях параметра а уравнение x^3-3x=a имеет один корень?

Answer 1

Рассмотрим производную y = x^3 - 3x
y' = 3x^2 - 3
Соответственно,
y' = 0 при x^2 = +- 1
y' < 0 при -1 < x < 1 - на этом интервале функция y убывает
y' > 0 при |x| > 1 - возрастает

То есть, функция y = x^3 - 3x
сначала возрастает до x = -1 {y(-1) = -1 + 3 = 2}
в точке (-1, 2) имеет локальный максимум
далее убывает до x = 1 {y(1) = 1 - 3 = -2}
локальный минимум в точке (1, -2)
далее возрастает

получается, что прямая y = a будет иметь с данной функцией
3 пересечения при -2 < a < 2 (пересекает все три участка возрастания/убывания)
2 пересечения при a = +-2 (пересекает один из участков и проходит через одну точку локального максимума/минимума)
1 пересечение при |a| > 2

Т.е. искомые значения параметра: |a| > 2

Answer 2

Уравнение x^3 - 3x = a имеет один корень в случае, когда график функции y = x^3 - 3x пересекает горизонтальную линию y = a только один раз. Это происходит, когда значение параметра "а" находится в определенном интервале.

Для определения этого интервала, предположим, что у нас есть один корень x = r. Тогда уравнение x^3 - 3x = a можно переписать как:

r^3 - 3r = a

Теперь мы можем использовать методы анализа функций, чтобы найти интервалы значений "а", при которых уравнение имеет один корень. Начнем с поиска производной этой функции:

f(x) = x^3 - 3x - a f'(x) = 3x^2 - 3

Теперь найдем критические точки, при которых производная равна нулю:

3x^2 - 3 = 0

Теперь решим это уравнение:

3x^2 = 3 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, у нас есть две критические точки, x = -1 и x = 1. Теперь мы можем использовать тест знаков, чтобы определить интервалы, в которых функция возрастает или убывает.

1. При x < -1, производная f'(x) отрицательна, следовательно, функция убывает.
2. При -1 < x < 1, производная f'(x) положительна, следовательно, функция возрастает.
3. При x > 1, производная f'(x) снова отрицательна, следовательно, функция убывает.

Теперь мы можем рассмотреть значения "а":

1. Если a < f(-1), то уравнение x^3 - 3x = a не имеет решений.
2. Если f(-1) ≤ a < f(1), то уравнение имеет один корень.
3. Если a ≥ f(1), то уравнение x^3 - 3x = a также не имеет решений.

Итак, уравнение x^3 - 3x = a имеет один корень, когда f(-1) ≤ a < f(1), то есть -4 ≤ a < 2.