Question

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график. y= - x^3 + 3x^2 - 2.

Answer 1

Всё подробно написала в решении...

Answer 2

Для исследования функции $y = -x^3 + 3x^2 - 2$ с помощью производной, мы будем выполнять следующие шаги:

1. Найдем производную функции $y$ по переменной $x$.
2. Найдем критические точки функции, где производная равна нулю или не существует.
3. Определим интервалы возрастания и убывания функции.
4. Найдем значения функции в критических точках и на краях интервалов.
5. Построим график функции, используя полученную информацию.

Шаг 1: Найдем производную функции $y$:

$y = -x^3 + 3x^2 - 2$

$y' = -3x^2 + 6x$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

$-3x^2 + 6x = 0$

Факторизуем:

$-3x(x - 2) = 0$

Отсюда следует, что $x = 0$ или $x = 2$. Это критические точки.

Шаг 3: Определим интервалы возрастания и убывания функции, используя знак производной.

Для $x < 0$, $y' > 0$, поэтому функция возрастает на интервале $(-\infty, 0)$.

Для $0 < x < 2$, $y' < 0$, поэтому функция убывает на интервале $(0, 2)$.

Для $x > 2$, $y' > 0$, поэтому функция возрастает на интервале $(2, \infty)$.

Шаг 4: Найдем значения функции в критических точках и на краях интервалов.

$y(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 - 2 = -2$

$y(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 2 = -8 + 12 - 2 = 2$

Шаг 5: Построим график функции $y = -x^3 + 3x^2 - 2$ с учетом всех вышеперечисленных результатов:

График начинается с точки $(0, -2)$, затем убывает до точки $(2, 2)$, после чего снова возрастает. График будет иметь форму параболы, открывшейся вниз.