Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2+4x+4, y=x+4

Answer 1

Так: x^2-4x+4+y^2-4y+4-1=0+4+4, (x^2-4x+4)+(y^2-4y+4)=9, (x-2)^2+(y-2)^2=3^2, окружность радиусом 3 с центром в точке (2;2).

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя функциями, вам нужно найти точки их пересечения, а затем найти интеграл разности этих функций вдоль оси x между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения двух функций, то есть решим уравнение:

x^2 + 4x + 4 = x + 4

Вычитая x и 4 с обеих сторон уравнения, получим:

x^2 + 3x = 0

Теперь факторизуем левую сторону:

x(x + 3) = 0

Это уравнение имеет два корня:

1. x = 0
2. x = -3

Это означает, что точки пересечения находятся при x = 0 и x = -3.

Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями, вычислив интеграл разности этих функций между этими точками:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - точки пересечения, f(x) - верхняя функция (y = x^2 + 4x + 4), g(x) - нижняя функция (y = x + 4).

S = ∫[-3, 0] ((x^2 + 4x + 4) - (x + 4)) dx

S = ∫[-3, 0] (x^2 + 4x + 4 - x - 4) dx

S = ∫[-3, 0] (x^2 + 3x) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

S = [(1/3)x^3 + (3/2)x^2] |[-3, 0]

S = [(1/3)(0)^3 + (3/2)(0)^2] - [(1/3)(-3)^3 + (3/2)(-3)^2]

S = [0 + 0] - [-27/3 + 27/2]

S = 0 - (-9 + 27/2)

S = 9 - 27/2

S = 18/2 - 27/2

S = (18 - 27)/2

S = -9/2

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 4x + 4 и y = x + 4, равна -9/2 квадратных единиц.