Question

1. Решить уравнения: а) √х2−9=6−2хб) |х−1|+2|х+1|=42. Решить неравенства:а) √х<√2х+34б) (х−6)∙log3(10−х)√х−4∙(3х−9)<03. Решить систему уравнений:а) {х−у=7ху=−10б) {2х−у+3х+у=16х−у−2х+у=14 Смотреть ответ snazerke1809 snazerke1809 Ответ: 1) а)х=5 б)х1=-7/3 х2= 1/3 2) а) х€[0,+♾️}

Answer 1

1. Решение уравнений:

а) √(x^2 - 9) = 6 - 2x

Сначала преобразуем уравнение:

√(x^2 - 9) = 6 - 2x

Выразим √(x^2 - 9) на одной стороне:

√(x^2 - 9) - 6 = -2x

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x^2 - 9 - 12√(x^2 - 9) + 36 = 4x^2

Теперь соберем все члены, содержащие x на одной стороне:

3x^2 - 12√(x^2 - 9) - x^2 - 9 + 36 = 0

2x^2 - 12√(x^2 - 9) + 27 = 0

Теперь выразим √(x^2 - 9):

2x^2 + 27 = 12√(x^2 - 9)

(2x^2 + 27)/12 = √(x^2 - 9)

((x^2 + 27)/6) = √(x^2 - 9)

Теперь возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(x^2 + 27)/6 = x^2 - 9

Умножим обе стороны на 6, чтобы избавиться от дроби:

x^2 + 27 = 6(x^2 - 9)

x^2 + 27 = 6x^2 - 54

Теперь переносим все члены на одну сторону:

0 = 5x^2 - 27 - 54

0 = 5x^2 - 81

5x^2 = 81

x^2 = 81/5

x = ±√(81/5)

x1 = √(81/5) x2 = -√(81/5)

б) |x - 1| + 2|x + 1| = 42

Разберемся с модулями:

Если x ≥ 1, то у нас есть:

x - 1 + 2(x + 1) = 42

x - 1 + 2x + 2 = 42

3x + 1 = 42

3x = 41

x = 41/3

Если -1 ≤ x < 1, то у нас есть:

x - 1 + 2(-x - 1) = 42

x - 1 - 2x - 2 = 42

-3x - 3 = 42

-3x = 45

x = -15

Если x < -1, то у нас есть:

-(x - 1) + 2(-x - 1) = 42

• x + 1 - 2x - 2 = 42

-3x - 1 = 42

-3x = 43

x = -43/3

Итак, решения уравнения б):

x1 = 41/3 x2 = -15 x3 = -43/3

2. Решение неравенств:

а) √x < √(2x + 34)

Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корней:

x < 2x + 34

Теперь переносим все члены на одну сторону:

0 < 2x - x + 34

0 < x + 34

x > -34

Ответ: x > -34

б) (x - 6) * log3(10 - x) < 4 * (3x - 9)

Это неравенство содержит логарифм, и его решение может зависеть от значений x. Давайте рассмотрим диапазоны, в которых оно может быть выполнено:

1. Первый диапазон: x < 6

В этом случае, логарифм будет положительным, и выражение не изменит знак при умножении на 4:

(x - 6) * log3(10 - x) < 4 * (3x - 9)

(x - 6) * положительное число < 4 * (3x - 9)

Так как левая сторона положительная, неравенство выполняется при x < 6.

2. Второй диапазон: 6 < x < 10

В этом случае, логарифм будет отрицательным (так как 10 - x < 0), и его знак изменится при умножении на 4:

(x - 6) * log3(10 - x) < 4 * (3x - 9)

(x - 6) * отрицательное число > 4 * (3x - 9)

Знак левой стороны изменится, и неравенство не выполнится.

3. Третий диапазон: x > 10

В этом случае, логарифм будет положительным, и выражение не изменит знак при умножении на 4:

(x - 6) * log3(10 - x) < 4 * (3x - 9)

(x - 6) * положительное число < 4 * (3x - 9)

Так как левая сторона положительная, неравенство выполняется при x > 10.

Итак, решение неравенства б) состоит из двух интервалов:

1. x < 6
2. x > 10

3. Решение системы уравнений:

а) {x - y = 7 xy = -10

Мы можем решить первое уравнение относительно x:

x = 7 + y

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

(7 + y)y = -10

7y + y^2 = -10

y^2 + 7y + 10 = 0

Факторизуем это квадратное уравнение:

(y + 2)(y + 5) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для y:

1. y + 2 = 0 y = -2

2. y + 5 = 0 y = -5

Теперь найдем соответствующие значения x, используя x = 7 + y:

1. x = 7 - 2 x = 5

2. x = 7 - 5 x = 2

Итак, у нас есть две пары решений:

1. x = 5, y = -2
2. x = 2, y = -5

б) {2x - y + 3x + y = 16 x - y - 2x + y = 14

Упростим уравнения:

2x + 3x = 16 x - 2x = 14

5x = 16 -x = 14

Теперь решим каждое уравнение:

5x = 16 x = 16/5

-x = 14 x = -14

Итак, у нас есть два решения:

1. x = 16/5
2. x = -14

Обратите внимание, что второе уравнение было тождественно истинным, и оно не ограничивает x.