Question

Помогите найти экстремумы функции y=x*sqrt(9-x) Sqrt — корень

Answer 1

Ответ: y=6√3.

Объяснение:

y=x*√(9-x)

$y'=(x*\sqrt{9-x})'= x'*\sqrt{9-x} +x*(\sqrt{9-x} )'=\sqrt{9-x} +\frac{x*(9-x)'}{2*(\sqrt{9-x} } =\\=\sqrt{9-x} +\frac{-x}{2*\sqrt{9-x} } =\sqrt{9-x} -\frac{x}{2*\sqrt{9-x} }= \frac{2*(\sqrt{9-x})^{2}-x }{2*\sqrt{9-x} } =\\ =\frac{2*(9-x)-x}{2*\sqrt{9-x} }=\frac{18-2x-x}{2*\sqrt{9-x} }=\frac{18-3x}{2*\sqrt{9-x} }=\frac{3*(6-x)}{2*\sqrt{9-x}} .\\\frac{3*(6-x)}{2*\sqrt{9-x}}=0\\6-x=0\\x=6.\\y=6*\sqrt{9-6}=6\sqrt{3}.$

Answer 2

Для поиска экстремумов функции $y = x\sqrt{9 - x}$, первым шагом найдем производную этой функции по $x$, а затем приравняем ее к нулю, чтобы найти точки, в которых может быть экстремум.

1. Найдем производную $y$ по $x$:

$y' = \frac{d}{dx}\left(x\sqrt{9 - x}\right)$

Для нахождения производной этой функции используем правило производной произведения:

$y' = x \frac{d}{dx}\left(\sqrt{9 - x}\right) + \sqrt{9 - x} \frac{d}{dx}(x)$

Теперь найдем производные по отдельным частям:

• $\frac{d}{dx}(\sqrt{9 - x})$: Мы можем использовать цепное правило (chain rule) здесь. Пусть $u = 9 - x$, тогда $\frac{du}{dx} = -1$. Таким образом, $\frac{d}{dx}(\sqrt{9 - x}) = \frac{d}{du}(\sqrt{u}) \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{u}}$.
• $\frac{d}{dx}(x) = 1$.

Теперь подставим эти значения в уравнение производной:

$y' = x \left(-\frac{1}{2\sqrt{9 - x}}\right) + \sqrt{9 - x} \cdot 1$

$y' = -\frac{x}{2\sqrt{9 - x}} + \sqrt{9 - x}$

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

$0 = -\frac{x}{2\sqrt{9 - x}} + \sqrt{9 - x}$

Для упрощения уравнения умножим обе стороны на $2\sqrt{9 - x}$:

$0 = -x + 2(9 - x)$

Теперь решим это уравнение для $x$:

$0 = -x + 18 - 2x$

$x - 2x = 18$

$-x = 18$

Теперь умножим обе стороны на -1:

$x = -18$

Таким образом, у нас есть одна точка, в которой производная равна нулю: $x = -18$.

3. Чтобы определить, является ли это точкой минимума или максимума, можно использовать вторую производную тест. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{2\sqrt{9 - x}} + \sqrt{9 - x}\right)$