Question

Обчислити площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції f(x)={x^2+2}/{x-1} в точці з абсцисою х0=2.

Answer 1

йййййййййййййййййййййййййййййййййййй,+_+,

Answer 2

Для обчислення площі трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції f(x) в точці x₀ = 2, спочатку ми повинні знайти точку, в якій дотична перетинає графік функції. Для цього ми визначимо похідну функції і знайдемо її значення в точці x₀ = 2.

Спершу знайдемо похідну функції f(x):

f(x) = (x^2 + 2) / (x - 1)

f'(x) = [(x - 1)(2x) - (x^2 + 2)(1)] / (x - 1)^2

Тепер знайдемо значення похідної в точці x₀ = 2:

f'(2) = [(2 - 1)(2 * 2) - (2^2 + 2)(1)] / (2 - 1)^2 f'(2) = (2 * 4 - (4 + 2)) / 1 f'(2) = (8 - 6) / 1 f'(2) = 2

Отже, похідна функції f(x) в точці x₀ = 2 дорівнює 2. Це означає, що дотична до графіка функції в точці (2, f(2)) має рівняння:

y = f'(2) * (x - 2) + f(2)

y = 2 * (x - 2) + f(2)

Тепер знайдемо значення f(2):

f(2) = (2^2 + 2) / (2 - 1) f(2) = (4 + 2) / 1 f(2) = 6

Отже, f(2) = 6.

Тепер ми знаємо, що рівняння дотичної має вигляд:

y = 2(x - 2) + 6

Тепер можемо знайти точки перетину цієї дотичної з осями координат. Для x-осі (y = 0):

0 = 2(x - 2) + 6

2(x - 2) = -6

x - 2 = -3

x = -1

Для y-осі (x = 0):

y = 2(0 - 2) + 6 y = 2(-2) + 6 y = -4 + 6 y = 2

Отже, трикутник, утворений осями координат і дотичною до графіка функції f(x) в точці x₀ = 2, має вершини (-1, 0), (0, 2) і (2, 0).

Тепер можемо обчислити площу цього трикутника. Площа трикутника може бути знайдена за допомогою формули:

Площа = 0.5 * |x₁y₂ - x₂y₁|

де (x₁, y₁) і (x₂, y₂) - координати вершин трикутника.

Площа = 0.5 * |(-12 - 0(-1))| Площа = 0.5 * |-2| Площа = 1

Отже, площа трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції f(x) в точці x₀ = 2, дорівнює 1 квадратному одиниці.