Question

Найти сумму бесконечно убывающей прогрессии, если: q = √2/2 b9 = 4​

Answer 1

Ответ: S=64*(2+√2).

Объяснение:

$q=\frac{\sqrt{2} }{2};b_{9} =4 ;S=?\\b_{9}=b_{1} q^{8}=4\\ b_{1} =\frac{4}{q^{1} } =\frac{4}{(\frac{(\sqrt{2} }{2}) ^{8} } =\frac{4}{\frac{1}{16} } =4*16=64.\\S=\frac{b_{1} }{1-q} =\frac{64}{1-\frac{\sqrt{2} }{2} } =\frac{64}{\frac{2-\sqrt{2} }{2 } } =\frac{64*2}{2-\sqrt{2} } =\frac{128}{2-\sqrt{2} } =\frac{128*(2+\sqrt{2)} }{(2-\sqrt{2} )(2+\sqrt{2}) } =\\=\frac{128*(2+\sqrt{2} )}{4-2} =\frac{128*(2+\sqrt{2} )}{2}=64*(2+\sqrt{2} ).$

Answer 2

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется следующая формула:

S = a / (1 - q),

где: S - сумма бесконечной прогрессии, a - первый член прогрессии, q - коэффициент убывания (абсолютное значение, 0 < |q| < 1).

В данном случае, у вас даны значения:

a = b9 = 4, q = √2/2.

Подставим их в формулу:

S = 4 / (1 - √2/2).

Теперь, чтобы вычислить сумму, упростим выражение в знаменателе:

1 - √2/2 = (2 - √2) / 2.

Теперь мы можем продолжить расчет:

S = 4 / ((2 - √2) / 2).

Чтобы делить на дробь, нужно умножить на её обратную величину:

S = 4 * (2 / (2 - √2)).

Теперь выразим 2 - √2 как разность квадрата 2 и квадрата √2:

S = 4 * (2 / (2 - √2)) * (2 + √2) / (2 + √2).

Теперь умножим числитель и знаменатель на 2:

S = 8 * (2 + √2) / (4 - 2).

Упростим дальше:

S = (8 * (2 + √2)) / 2.

S = 4 * (2 + √2).

Таким образом, сумма бесконечно убывающей прогрессии с a = 4 и q = √2/2 равна 4 * (2 + √2).