Question

Решите уравнение:log²₅x - log₅x =2

Answer 1

$log_5^2x-log_5x=2\; \; ,\; \; \; ODZ\;\; x>0\\\\t=log_5x\; \; ,\; \; t^2-t-2=0\; ,\; \; t_1=-1\; ,\; t_2=2\; \; (teorema\; Vieta)\\\\log_5x=-1\; ,\; \; x=5^{-1}=\frac{1}{5}\\\\log_5x=2\; ,\; \; x=5^2=25\\\\Otvet:\; \; x=\frac{1}{5}\; ,\; x=25\; .$

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся свойствами логарифмов. У нас есть следующее уравнение:

log₅(x²) - log₅(x) = 2

Теперь мы можем использовать правило вычитания логарифмов:

log₅(x²) / log₅(x) = 2

Теперь мы можем применить свойство логарифма, которое гласит, что logₐ(b) / logₐ(c) = log_c(b). В нашем случае a = 5:

log₅(x²) / log₅(x) = 2 log₅(x²) = 2 * log₅(x)

Теперь мы можем использовать свойство логарифмов, которое позволяет переместить показатель степени вперед:

2 * log₅(x) = log₅(x)

Теперь у нас есть уравнение с одним логарифмом. Давайте решим его:

2 * log₅(x) - log₅(x) = 0

Для упрощения этого уравнения, вынесем общий множитель:

log₅(x) * (2 - 1) = 0 log₅(x) = 0

Теперь мы можем использовать определение логарифма:

5^0 = x

Так как любое число в степени 0 равно 1, мы получаем:

1 = x

Итак, решение уравнения log₅(x²) - log₅(x) = 2 - это x = 1.