Question

Пусть х1и х2 корни квадратного трёхчлена х2-7х-1.найти значение выражения f(x1, x2) =x1*+x2*​

Answer 1

Відповідь:

$f\left(X_1,X_2\right)=X_1^2+X_2^2=51$

Пояснення:  

$X_1, X_2$  корни уравнения $x^2-7\cdot x-1=0$

Необходимо найти значение выражения $f\left(X_1,X_2\right)=X_1^2+X_2^2$

С теоремы Виетта, известно, что для уравнения, $f\left(x\right)=x^2+ax+b$   его корни $X_1$ и $X_2$ связаны с коэфициентами уравнения равненствами:

$\left \{ {{X_1+X_2=-a} \atop {X_1\cdot X_2=b}} \right.$

При этом известно, что $\left(X_1+X_2\right)^2=X_1^2+2\cdot X_1\cdot X_2+X_2^2$

тогда имеем :$X_1^2+X_2^2=\left(X_1+X_2\right)^2-2\cdot X_1\cdot X_2$

С нашего уравнения, по теореме Виетта имеем значения суммы и произведения корней уравнения:

$\\ \ \ \ a=-7,\ b=-1\\\left \{ {{X_1+X_2=-\left(-7\right)=7} \atop {X_1\cdot\X_2=-1}} \right. \\\\\\\\==> \\\\X_1^2+X_2^2=\left(X_1+X_2\right)^2-2\cdot X_1\cdot X_2=a^2-2\cdot b=7^2-2\cdot\left(-1\right)=49+2=51$

Answer 2

Для начала, найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 - 7x - 1\). Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где a, b и c - коэффициенты уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). В данном случае у нас \(a = 1\), \(b = -7\), и \(c = -1\). Подставив значения, получим:

\[x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}\]

\[x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2}\]

\[x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{53}}{2}.\]

Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 7x - 1\) равны \(x_1 = \frac{7 + \sqrt{53}}{2}\) и \(x_2 = \frac{7 - \sqrt{53}}{2}\).

Теперь, чтобы найти значение выражения \(f(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2\), подставим найденные значения корней:

\[f(x_1, x_2) = \left(\frac{7 + \sqrt{53}}{2}\right) \cdot \left(\frac{7 - \sqrt{53}}{2}\).

Для упрощения этого выражения, можно воспользоваться формулой разности квадратов \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\):

\[f(x_1, x_2) = \frac{1}{4}(7^2 - (\sqrt{53})^2).\]

Теперь вычислим значения:

\[f(x_1, x_2) = \frac{1}{4}(49 - 53) = \frac{1}{4}(-4) = -1.\]

Таким образом, значение выражения \(f(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2\) при корнях \(x_1 = \frac{7 + \sqrt{53}}{2}\) и \(x_2 = \frac{7 - \sqrt{53}}{2}\) равно -1.