Question

Пусть x1,x2 - корни приведённого квадратного трёхчлена с дискриминантом 1; y1,y2 - корни приведённого квадратного трёхчлена с дискриминантом 9; z1,z2 - корни приведённого квадратного трёхчлена с дискриминантом D. При каком наименьшем D могло выполняться равенство x1+y1+z1=x2+y2+z2?

Answer 1

Ответ:

4

Объяснение:

Перепишем равенство в другом виде:

$x_1+y_1+z_1=x_2+y_2+z_2\\(x_1-x_2)+(y_1-y_2)+(z_1-z_2)=0$

Выясним для приведенного уравнения с корнями $x_1,x_2$, чему может быть равно выражение $x_1-x_2$:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2}\\1)x_1-x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2}-\frac{-b-\sqrt{D}}{2}=\sqrt{D}\\2)x_1-x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2}-\frac{-b+\sqrt{D}}{2}=-\sqrt{D}$

В зависимости от того, как назначили $x_1,x_2$, разность может быть $\pm\sqrt{D}$.

Пусть $D_1,D_2,D_3$ - дискриминанты трех уравнений из условия. Тогда равенство $(x_1-x_2)+(y_1-y_2)+(z_1-z_2)=0$ можно будет записать так:

$\pm\sqrt{D_1}\pm\sqrt{D_2}\pm\sqrt{D_3}=0$

Подставим $D_1=1,D_2=9$ из условия и получим:

$\pm1\pm3\pm\sqrt{D_3}=0\\\sqrt{D_3}=\pm(\pm1\pm3)\\\sqrt{D_3}\in\{-4,-2,2,4\}$

Но так как значение $\sqrt{D_3}$ неотрицательно, минимальным значением может быть 2. То есть минимальное $D_3=4$.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойство симметрии квадратного трёхчлена относительно его корней.

Для квадратного трёхчлена с корнями x1 и x2 и дискриминантом D1, коэффициенты могут быть найдены по формулам:

a1 = 1 b1 = -(x1 + x2) c1 = x1 * x2

Аналогично, для квадратного трёхчлена с корнями y1 и y2 и дискриминантом D2, коэффициенты могут быть найдены по формулам:

a2 = 1 b2 = -(y1 + y2) c2 = y1 * y2

Поскольку у нас есть равенство x1 + y1 + z1 = x2 + y2 + z2, мы можем записать:

x1 + y1 + z1 = x2 + y2 + z2 x1 + y1 + z1 - (x2 + y2 + z2) = 0

Теперь мы можем использовать свойство симметрии и факт о том, что сумма коэффициентов при одинаковых степенях в уравнении равна нулю. Применяя это свойство, получаем:

(a1 - a2) + (b1 - b2) + (c1 - c2) = 0 (1 - 1) + (-(x1 + x2) + (-(y1 + y2)) + (x1 * x2 - y1 * y2) = 0 -(x1 + x2) + -(y1 + y2) + (x1 * x2 - y1 * y2) = 0 -2(x1 + x2 + y1 + y2) + (x1 * x2 - y1 * y2) = 0

Теперь мы знаем, что x1 + x2 + y1 + y2 + z1 + z2 = 0 (сумма всех корней равна нулю), поэтому:

-2(x1 + x2 + y1 + y2) + (x1 * x2 - y1 * y2) = 0 -2(z1 + z2) + (x1 * x2 - y1 * y2) = 0 2(z1 + z2) = x1 * x2 - y1 * y2 z1 + z2 = (x1 * x2 - y1 * y2) / 2

Мы также знаем, что дискриминант квадратного трёхчлена с корнями z1 и z2 равен D, поэтому можем записать:

D = (z1 - z2)^2

Таким образом, чтобы найти наименьшее D, при котором выполняется равенство x1 + y1 + z1 = x2 + y2 + z2, нужно найти наименьшее значение выражения (x1 * x2 - y1 * y2) / 2.

Заметим, что выражение (x1 * x2 - y1 * y2) будет наименьшим, когда x1, x2, y1 и y2 будут наименьшими возможными корнями.

Для случая с дискриминантом 1, наименьшими корнями являются x1 = -1 и x2 = 1, а для случая с дискриминантом 9, наименьшими корнями являются y1 = -3 и y2 = 3.

Таким образом, наименьшее значение выражения (x1 * x2 - y1 * y2) / 2 будет достигаться, когда x1 = -1, x2 = 1, y1 = -3 и y2 = 3.

Подставим эти значения в выражение:

(x1 * x2 - y1 * y2) / 2 = (-1 * 1 - (-3 * 3)) / 2 = (-1 + 9) / 2 = 8 / 2 = 4

Таким образом, наименьшее значение D, при котором выполняется равенство x1 + y1 + z1 = x2 + y2 + z2, равно 4.