Question

Sin3^x+cos5^x=1 решите уравнение​

Answer 1

Ответ: x= π/2+2*π*n n∈Z

             x=2*π*n n∈Z

Объяснение:

Известно ,  что :   -1<=sinx<=1

                               -1<=cosx<=1

Решение при котором  sinx =-1 ,  а  сosx=0 соответственно и  наоборот неподходит  :  (-1)^5+0^3=-1  или  (-1)^3 +0^3=-1

Очевидно ,  что уравнение  имеет тривиальные решения при которых : сosx=1  или  sinx=1

Иначе говоря :

x= π/2+2*π*n n∈Z

x=2*π*n n∈Z

Предположим , что существуют нетривиальные решения при которых sinx ≠+-1  и cosx ≠+-1

При возведении в степень большую единицы числа по модулю меньшего единицы оно уменьшается по модулю и    cos^2(x) >=0  и sin^2(x)>=0

Таким образом, независимо от того, какой знак имеют sinx и сosx

Cправедливы следующие неравенства

sin^3(x)<sin^2(x)

cos^5(x)<cos^2(x)

Cложим эти неравенства почленно

sin^3(x)+cos^5(x)<sin^2(x)+cos^2(x)=1

sin^3(x)+cos^5(x)<1

То есть  мы пришли к противоречию , таких нетривиальных решений не существует.

Ответ : x= π/2+2*π*n n∈Z

             x=2*π*n n∈Z

Answer 2

Для решения уравнения sin(3^x) + cos(5^x) = 1, мы сначала попробуем выразить sin(3^x) и cos(5^x) через другие функции, чтобы упростить уравнение. Затем мы воспользуемся графическим методом или численным методом, таким как метод Ньютона, чтобы найти приближенное решение.

Давайте начнем с выражения sin(3^x) и cos(5^x) через экспоненты:

sin(3^x) = (e^(i * 3^x) - e^(-i * 3^x)) / (2i) cos(5^x) = (e^(i * 5^x) + e^(-i * 5^x)) / 2

Теперь мы можем заменить sin(3^x) и cos(5^x) в уравнении и получить следующее уравнение:

(e^(i * 3^x) - e^(-i * 3^x)) / (2i) + (e^(i * 5^x) + e^(-i * 5^x)) / 2 = 1

Мы можем умножить обе стороны на 2i, чтобы избавиться от комплексных чисел:

e^(i * 3^x) - e^(-i * 3^x) + i * (e^(i * 5^x) + e^(-i * 5^x)) = 2i

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами Эйлера для выразительности синусов и косинусов через экспоненты:

2i * sin(3^x) + 2i * cos(5^x) = 2i * (e^(i * 3^x) - e^(-i * 3^x) + e^(i * 5^x) + e^(-i * 5^x))

Теперь выразим sin(3^x) и cos(5^x) через экспоненты снова:

2i * (e^(i * 3^x) - e^(-i * 3^x)) + 2i * (e^(i * 5^x) + e^(-i * 5^x)) = 2i * (e^(i * 3^x) - e^(-i * 3^x) + e^(i * 5^x) + e^(-i * 5^x))

Сократим 2i с обеих сторон:

e^(i * 3^x) - e^(-i * 3^x) + e^(i * 5^x) + e^(-i * 5^x) = e^(i * 3^x) - e^(-i * 3^x) + e^(i * 5^x) + e^(-i * 5^x)

Теперь мы видим, что все слагаемые сокращаются, и у нас остается следующее тождество:

0 = 0

Это означает, что исходное уравнение не имеет решений в действительных числах.