Question

Цілі числа а, Ь і с є такими, що + + = 1. Доведіть, що значення виразу (а + Ьс) (Ь + ас) (с + аЬ) є квадратом цілого числа.​

Answer 1

Видимо, по условию a + b + c = 1.

Умножим обе части исходного равенства на b:

ab + b² + bc = b. Тогда ab = b - b² - bc и bc = b - b² - ab.

Умножим обе части исходного равенства на c:

ac + bc + c² = c. Тогда ac = c - c² - bc. Рассмотрим чему

тогда равны суммы a + bc, b + ac и c + ab:

a + bc = a + b - b² - ab = (a + b) - b(a + b) = (a + b)(1 - b) =

= (a + b)(a + b + c - b) = (a + b)(a + c).

b + ac = b + c - c² - bc = (b + c) - c(b + c) = (b + c)(1 - c) =

= (b + c)(a + b + c - c) = (b + c)(a + b).

c + ab = c + b - b² - bc = (b + c) - b(b + c) = (b + c)(1 - b) =

= (b + c)(a + b + c - b) = (b + c)(a +c).

Перемножим эти три суммы:

(a + bc)(b + ac)(c + ab) = (a + b)(a + c)(b + c)(a + b)(b + c)(a + c) =

= (a + b)²(a + c)²(b + c)² = ((a + b)(a + c)(b + c))². Это выражение

есть полный квадрат.

Answer 2

Давайте розглянемо вираз $(a + bc)(b + ac)(c + ab)$ та спростимо його.

Розглянемо вираз $a + bc$. Знаючи, що $a + b + c = 1$, можемо виразити $a$ з цієї рівності: $a = 1 - b - c$. Підставимо це значення у вираз $a + bc$:

$a + bc = (1 - b - c) + bc = 1 - b - c + bc = (1 - b)(1 - c)$

Аналогічно можна розглянути інші два доданки:

$b + ac = (1 - a)(1 - c)$ $c + ab = (1 - a)(1 - b)$

Отже, вираз $(a + bc)(b + ac)(c + ab)$ можна записати як:

$(1 - b)(1 - c)(1 - a)(1 - c)(1 - a)(1 - b)$

Згрупуємо однакові доданки разом:

$(1 - b)^2(1 - c)^2(1 - a)^2$

Цей вираз є квадратом цілого числа, оскільки кожний множник $(1 - b)$, $(1 - c)$, та $(1 - a)$ є цілим числом, і їх квадрат теж є цілим числом.