Question

Найдите наибольшее натуральное число, факториал которого не делится на 3^2019

Answer 1

Нужно найти такое натуральное n, факториал которого не делится на $3^{2019}$ и это возможно когда число 3 приходится в факториал n меньше чем 2019 раз.

$\displaystyle \sum^{m}_{k=1}\Bigg[\dfrac{n}{3^{k}}\Bigg]$

Для m = 7 имеется $n=4049$,т.е. $2018$ откуда n - максимальное значение, факториал которого не делится на $3^{2019}$

Ответ: 4049.

Answer 2

Для нахождения наибольшего натурального числа, факториал которого не делится на $3^{2019}$, мы можем воспользоваться простым наблюдением. Факториал числа $n!$ делится на $3$ для каждого числа, кратного $3$, на $3^2$ для каждого числа, кратного $3^2$, на $3^3$ для каждого числа, кратного $3^3$, и так далее.

Следовательно, чтобы найти наибольшее натуральное число, факториал которого не делится на $3^{2019}$, нам нужно взять максимальное возможное значение для числа $n$, при котором факториал $n!$ не содержит более чем $2018$ множителей $3$. Таким образом, мы хотим, чтобы

$3^{2018} \leq n!$

Давайте найдем это значение $n$. Для начала выразим $3^{2018}$ в виде факториала:

$3^{2018} = 3^{2017} \cdot 3 = 3^{2016} \cdot 3^2 = \ldots = 3^2 \cdot 3^{2016} = 9 \cdot 3^{2016}$

Теперь, чтобы $n!$ не содержал больше чем $2018$ множителей $3$, $n$ должно быть таким, что $n \leq 2018$. Таким образом, наибольшее натуральное число, факториал которого не делится на $3^{2019}$, равно $n = 2018$.

Таким образом, $2018!$ - это наибольшее такое число.