Question

3*9^x = 2*15^x + 5*25^x Решите уравнение

Answer 1

3^(2x+1)=5^(2x+1)+2*15^x;

3^(x+1)=5^(x+1);

x=-1

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать свойства степеней и алгебраических операций. Давайте разберемся поэтапно.

Уравнение: 3 * 9^x = 2 * 15^x + 5 * 25^x

Первый шаг: Приведение подобных слагаемых

В данном уравнении есть три слагаемых, каждое содержит базу в степени. Чтобы привести их к общему виду, мы должны привести базы к одной и той же степени. Для этого воспользуемся свойством степени:

a^x * a^y = a^(x + y)

Мы можем привести 9^x и 15^x к базе 25^x, поскольку 25 = 5^2:

3 * (3^2)^x = 2 * (3 * 5)^x + 5 * (5^2)^x

Упрощаем:

3 * 3^(2x) = 2 * 3^x * 5^x + 5 * 5^(2x)

Второй шаг: Замена переменной

Чтобы сделать уравнение более удобным для решения, мы можем заменить переменную. Пусть:

y = 3^x

Тогда уравнение может быть переписано в терминах y:

3 * y^2 = 2 * 3 * 5^x * y + 5 * y^2

Третий шаг: Решение полученного квадратного уравнения

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно y:

3y^2 - 2 * 3 * 5^x * y - 5y^2 = 0

Упрощаем:

-2 * 5^x * y - 2y^2 = 0

Перепишем его в стандартной форме:

2y^2 + 2 * 5^x * y = 0

Четвертый шаг: Решение квадратного уравнения

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать формулу квадратного корня:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В нашем случае, a = 2, b = 2 * 5^x, c = 0. Подставим значения в формулу:

y = (-2 * 5^x ± √((2 * 5^x)^2 - 4 * 2 * 0)) / (2 * 2)

y = (-2 * 5^x ± √(4 * 25^x - 0)) / 4

y = (-2 * 5^x ± √(100^x - 0)) / 4

y = (-2 * 5^x ± 10^x) / 4

Пятый шаг: Обратная замена переменной

Теперь, чтобы получить значения x, мы должны обратно заменить y в уравнение. Подставим значения y = 3^x:

3^x = (-2 * 5^x ± 10^x) / 4

Шестой шаг: Решение уравнения

Для решения данного уравнения, мы можем использовать различные методы, такие как графический метод, метод подстановки или численные методы, чтобы найти приближенное значение x. Однако, точное аналитическое решение может быть достаточно сложным для данного уравнения.

Пожалуйста, уточните, какой метод вам наиболее удобен для решения этого уравнения, или если вы хотите получить приближенное решение с помощью численных методов.