Question

Помогите пожалуйста решить(n!)²-119n!-120=0 ​

Answer 1

Ответ:

n=5

Объяснение:

Пусть n!= t,  t>0

t²-119t-120=0

D=14161+480= 14641

t1= (119-121)/2= -1 - не корень

t2= (119+121)/2= 120

n!=120

n!= 1*2*3*4*5

n= 5

Answer 2

Давайте решим квадратное уравнение относительно $n!$:

$(n!)^2 - 119n! - 120 = 0$

Мы можем рассматривать $n!$ как обычную переменную. Давайте обозначим $n!$ как $x$:

$x^2 - 119x - 120 = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант $D$ равен:

$D = b^2 - 4ac$

где $a = 1$, $b = -119$ и $c = -120$. Подставляем значения:

$D = (-119)^2 - 4(1)(-120) = 14161 + 480 = 14641$

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{119 + \sqrt{14641}}{2} = \frac{119 + 121}{2} = 120$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{119 - \sqrt{14641}}{2} = \frac{119 - 121}{2} = -1$

Теперь мы знаем значения $n!$: $n! = 120$ или $n! = -1$. Но факториал натурального числа не может быть отрицательным. Поэтому единственное допустимое значение - это $n! = 120$.

Теперь мы можем найти значение $n$ подходящее для $n!$:

$n! = 120$

$n$ - это такое натуральное число, что $n!$ равно 120. Нам известно, что $5! = 120$. Поэтому, $n = 5$.

Ответ: $n = 5$.

Answer 3

Это квадратное уравнение относительно $n!$. Давайте обозначим $n!$ за $x$, чтобы упростить запись уравнения. Таким образом, уравнение принимает вид:

$x^2 - 119x - 120 = 0.$

Это квадратное уравнение можно решить с использованием формулы квадратного корня. Давайте найдем $x$:

$x = \frac{-(-119) \pm \sqrt{(-119)^2 - 4 \times 1 \times (-120)}}{2 \times 1}$

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 + 480}}{2}$

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14641}}{2}$

$x = \frac{119 \pm 121}{2}$

Таким образом, корни уравнения $x^2 - 119x - 120 = 0$ равны $x_1 = 120$ и $x_2 = -1$.

Теперь, чтобы найти значения $n!$, нужно найти такие $n$, для которых $n! = 120$ и $n! = -1$. Но факториал $n!$ не может быть отрицательным числом, так что мы получаем только одно допустимое решение: $n! = 120$.

Для нахождения $n$ такого, что $n! = 120$, мы можем просто пройти по значениям факториала для различных $n$ и найти такое значение, которое дает 120. Очевидно, что $n = 5$, так как $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Таким образом, $n = 5$ является решением данного уравнения.