Question

Срочно!Докажите, что значение выражения 1/(√3-1)-1/(√3+1) число иррациональное

Answer 1

1/(√3-1)-1/(√3+1)=

(√3+1-√3+1)/((√3)²-1)=

2/(3-1)=1.

Answer 2

Для доказательства иррациональности значения данного выражения, мы можем воспользоваться методом от противного. Допустим, что данное выражение равно рациональному числу, то есть:

1/(√3 - 1) - 1/(√3 + 1) = p/q,

где p и q - целые числа и q ≠ 0 (поскольку мы работаем с дробями).

Теперь давайте решим это уравнение относительно √3:

1/(√3 - 1) - 1/(√3 + 1) = p/q.

Сначала приведем общий знаменатель в левой части выражения:

[(√3 + 1) - (√3 - 1)]/[(√3 - 1)(√3 + 1)] = p/q.

Упростим числитель:

(√3 + 1 - √3 + 1)/[(√3 - 1)(√3 + 1)] = p/q.

Теперь упростим числитель далее:

(2)/[(√3 - 1)(√3 + 1)] = p/q.

Заметим, что (√3 - 1)(√3 + 1) = (√3)^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2, поэтому:

(2)/2 = p/q.

Теперь мы видим, что p/q = 1, что является рациональным числом.

Это противоречие с предположением, что данное выражение равно рациональному числу. Поэтому исходное выражение 1/(√3 - 1) - 1/(√3 + 1) является числом иррациональным.