Question

2sin^2x+3 корень из 2 cos(3p/2+x)+2=0 [5p/2;4p] помогите решить пожалуйста

Answer 1

$2Sin^{2}x+3\sqrt{2}Cos(\frac{3\pi }{2}+x)+2=0\\\\2Sin^{2}x+3\sqrt{2}Sinx+2=0\\\\Sinx=m,-1\leq m\leq1\\\\2m^{2}+3\sqrt{2}m+2=0\\\\D=(3\sqrt{2})^{2}-4*2*2=18-16=2=(\sqrt{2})^{2}\\\\m_{1}=\frac{-3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{4}= -\frac{\sqrt{2} }{2}\\\\m_{2}=\frac{-3\sqrt{2} -\sqrt{2}}{4}=-\sqrt{2}$

$Sinx=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\1)x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in z \\\\n=2\\\\x=-\frac{\pi }{4}+\frac{16\pi }{4} =\frac{15\pi }{4}\\\\2)x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi n,n\in z\\\\n=2\\\\x=-\frac{3\pi }{4}+\frac{16\pi }{4}=\frac{13\pi }{4}\\\\Otvet:\frac{13\pi }{4};\frac{15\pi }{4}$

Ответ :

a)

$-\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in z;-\frac{3\pi }{4}+2\pi n,n\in z\\\\b)\\\\\frac{13\pi }{4};\frac{15\pi }{4}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, нам нужно найти значения $x$ в интервале $[5\pi/2, 4\pi]$, при которых оно выполняется. Давайте разберемся с уравнением по частям:

$2\sin^2(x) + 3\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right) + 2 = 0.$

Давайте начнем с того, чтобы переписать $\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)$ в виде $\sin(x)$, используя тригонометрические тождества:

$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right) = -\sin(x).$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$2\sin^2(x) + 3\sqrt{2}(-\sin(x)) + 2 = 0.$

Теперь давайте заменим $\sin(x) = t$:

$2t^2 - 3\sqrt{2}t + 2 = 0.$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $t$. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

Дискриминант ($D$) для уравнения $at^2 + bt + c = 0$ равен $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае:

$a = 2, \quad b = -3\sqrt{2}, \quad c = 2.$

Вычислим дискриминант:

$D = (-3\sqrt{2})^2 - 4(2)(2) = 18 - 16 = 2.$

Дискриминант положителен, что означает, что у нас есть два действительных корня для $t$. Мы можем найти их, используя квадратное уравнение:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$

Подставим значения:

$t = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{4}.$

Теперь у нас есть два значения для $t$:

1. $t_1 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}.$
2. $t_2 = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Теперь мы можем найти значения $x$ с помощью обратной тригонометрии:

1. Для $t = \sqrt{2}$:

$\sin(x) = \sqrt{2}.$

Но $\sin(x)$