Question

Помогите плиз!!!!!!!!!! 6sin²x+2sin2x+4cos²x=3

Answer 1

$6\sin^2{x}+4\cos^2{x}+2\sin{2x}=3\\3\sin^2{x}+3+\cos^2{x}+4\sin{x}\cos{x}-3=0\\3\sin^2{x}+4\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x}=0$

Если cos²x=0, то при подстановке получается, что 3sin²x=0, то есть sin²x+cos²x=0, но по ОТТ это равно 1, значит cos²x≠0, и мы можем поделить не потеряв корни.

$\left \{ {{3\tan^2{x}+4\tan{x}+1=0;D=16-12=4\\} \atop {\cos^2{x}\neq 0}} \right.\\\left \{ {{3(\tan{x}-\frac{-4-2}{6})(\tan{x}-\frac{-4+2}{6})=0;D=16-12=2^2\\} \atop {\cos^2{x}\neq 0}} \right.\\\left \{ {{(\tan{x}+1)(\tan{x}+\frac{1}{3})=0;D=16-12=2^2\\} \atop {\cos{x}\neq 0}} \right.$

Ну область определения tan совпадает с условием существования корней, поэтому можно забыть про тот cos.

$\left[\begin{array}{cc}\tan{x}=-1\\\tan{x}=-1/3\end{array}$

Ответ: x={-π/4+πn;-arctan(1/3)+πn}, n∈Z.

Answer 2

Давайте решим уравнение 6sin²x + 2sin2x + 4cos²x = 3.

Сначала мы можем использовать тригонометрическое тождество, которое связывает синус и косинус: sin²x + cos²x = 1. Используя это тождество, мы можем переписать уравнение следующим образом:

6sin²x + 2sin2x + 4(1 - sin²x) = 3

Теперь у нас есть уравнение только с синусами:

6sin²x + 2sin2x + 4 - 4sin²x = 3

Теперь объединим подобные члены:

6sin²x - 4sin²x + 2sin2x + 4 = 3

(6sin²x - 4sin²x) + 2sin2x + 4 = 3

2sin²x + 2sin2x + 4 = 3

Теперь давайте делим все на 2, чтобы упростить уравнение:

sin²x + sin2x + 2 = 1.5

Теперь у нас есть следующее уравнение:

sin²x + sin2x + 2 = 1.5

Теперь выразим sin2x через sinx и cosx, используя известное тождество: sin2x = 2sinxcosx.

sin²x + 2sinxcosx + 2 = 1.5

Теперь выразим sin²x через cos²x, используя тождество sin²x = 1 - cos²x:

1 - cos²x + 2sinxcosx + 2 = 1.5

Теперь переносим все члены влево:

cos²x - 2sinxcosx + 1 = 0

Теперь мы видим, что у нас есть уравнение квадратное относительно cosx. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac

где a = 1, b = -2sinx и c = 1. Подставим значения:

D = (-2sinx)² - 4(1)(1)

D = 4sin²x - 4

D = 4(sin²x - 1)

Теперь найдем значения sinx, при которых D равно или больше нуля:

4(sin²x - 1) ≥ 0

sin²x - 1 ≥ 0

sin²x ≥ 1

Так как синус не может быть больше 1, то у нас нет решений для этого уравнения.

Следовательно, уравнение 6sin²x + 2sin2x + 4cos²x = 3 не имеет решений.