Question

Найдите наименьшее значение функции f(x)=x^3-3x на отрезке [0; 3]

Answer 1

Решение:
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3-3x)' = 3x^2 - 3$
Затем приравняем к нулю:
$3x^2-3=0 \\ 3x^2=3 \\ x^2=1 \\ x = б1$
Найдем промежутки, в которых производная меняет знак:
 
      +          -               +
-----------|--------|-------------------
            -1        1

Точка, меняющаяся со знака - на + - точка минимума.
Чтобы окончательно убедиться, что это она, проверим.
f(1) = 1 - 3 = -2
f(0) = 0 - 0 = 0
f(3) = 27 - 9 = 16
На данном отрезке минимальным значением является -2 при x = 1.

Ответ: y(min) = -2, x(min) = 1.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции f(x) = x^3 - 3x на отрезке [0, 3] найдем сначала ее производную.

f'(x) = 3x^2 - 3

Для нахождения экстремумов функции приравняем производную к нулю:

3x^2 - 3 = 0 3x^2 = 3 x^2 = 1 x = ±1

Теперь найдем значения функции в точках x = 0, x = 1 и x = 3:

f(0) = 0^3 - 3*0 = 0 f(1) = 1^3 - 3*1 = -2 f(3) = 3^3 - 3*3 = 18 - 9 = 9

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) = x^3 - 3x на отрезке [0, 3] равно -2, которое достигается в точке x = 1.