Question

Решите уравнение lg(x+3)+lg(x-3)=2lg2+lg(x-1)

Answer 1

lg(x+3)+lg(x-3)=2*lg2+lg(x-1)

ОДЗ: x+3>0    x>-3      x-3>0     x>3     x-1>0    x>1   ⇒     x>3

lg((x+3)(x-3))=lg2²+lg(x-1)

lg(x²-9)=lg(4*(x-1))

x²-9=4x-4

x²-4x-5=0   D=36     √D=6

x₁=5           x₂=-1   ∉ОДЗ.

Ответ: x=5.

Answer 2

Пользуемся свойствами логарифмов:

lg(x-3)(x+3)=lg4(x-1)

Потенцируем:

х^2-9=4x-4

x^2-4x-5=0

Решаем квадратное уравнение

х=-1, х=5

Проверяем корни, подставляя в исходное уравнение -1 не подходит, 5 подходит.

Ответ: 5

Answer 3

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Уравнение: $\log_{10}(x+3) + \log_{10}(x-3) = 2\log_{10}2 + \log_{10}(x-1)$

Для упрощения, воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала объединим логарифмы по формуле $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$:

$\log_{10}((x+3)(x-3)) = \log_{10}(2^2 \cdot (x-1))$

Теперь можно убрать логарифмы, применяя обратную операцию к логарифмированию, и решить полученное уравнение:

$(x+3)(x-3) = 4(x-1)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 9 = 4x - 4$

Переносим все члены на одну сторону:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В данном случае, у нас есть $a = 1$, $b = -4$, и $c = -5$. Подставим значения:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 6}{2}$

Таким образом, получаем два значения $x$:

1. $x = \frac{4 + 6}{2} = 5$
2. $x = \frac{4 - 6}{2} = -1$

Однако, при подстановке $x = -1$ в исходное уравнение, логарифм отрицательного числа не определен, поэтому отбросим это значение.

Таким образом, единственное допустимое решение уравнения $\log_{10}(x+3) + \log_{10}(x-3) = 2\log_{10}2 + \log_{10}(x-1)$ - это $x = 5$.