Question

Нужно найти сумму действительных корней уравнения (x^2-4x)^2-(x^2-4x)=12

Answer 1

Уравнение:
x^4-2x^2-12x-8=0
x^4+2x^2+1 -4x^2-12x-9=0
(x^2+1)^2 - (2x+3)^2=0
разность квадратов:
(x^2+1-2x-3)(x^2+1+2x+3)=0
(x^2-2x-2)(x^2+2x+4)=0
Далее самостоятельно.
Ответ: 2.

Answer 2

(x²-4x)²-(x²-4x)=12
Пусть x²-4x=t  ⇒
t²-t-12=0   D=49     √D=7
t₁=4    ⇒  x²-4x=4     x²-4x-4=0   D=32  √D=4√2      x₁=2+2√2     x₂=2-2√2
t₂=-3   ⇒  x²-4x=-3   x²-4x+3=0   D=4   √D=2           x₃=3             x₄=1
x₁+x₂+x₃+x₄=2+2√2+2-2√2+3+1=8.
Ответ: 8.

Answer 3

Давайте рассмотрим уравнение:

(x^2 - 4x)^2 - (x^2 - 4x) = 12

Для упрощения этого уравнения, давайте введем замену. Обозначим y = x^2 - 4x. Тогда уравнение станет:

y^2 - y = 12

Теперь это уравнение является квадратным относительно переменной y. Мы можем решить его с помощью квадратного уравнения. Для этого приведем его к стандартному виду:

y^2 - y - 12 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта (D):

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = -1 и c = -12. Подставляем значения:

D = (-1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49

Теперь, используя корни дискриминанта, мы можем найти значения y:

y1 = (-b + √D) / (2a) = (1 + 7) / 2 = 8/2 = 4

y2 = (-b - √D) / (2a) = (1 - 7) / 2 = -6/2 = -3

Теперь, у нас есть два значения y. Напомним, что мы ввели замену y = x^2 - 4x. Теперь давайте найдем значения x, используя эти значения y:

1. Для y = 4: x^2 - 4x = 4 x^2 - 4x - 4 = 0

Решая это квадратное уравнение, мы получаем два корня:

x1 = 2 + √8 x2 = 2 - √8

2. Для y = -3: x^2 - 4x = -3 x^2 - 4x + 3 = 0

Решая это квадратное уравнение, мы также получаем два корня:

x3 = 2 + √1 x4 = 2 - √1

Теперь у нас есть четыре корня для исходного уравнения (x^2 - 4x)^2 - (x^2 - 4x) = 12:

x1 = 2 + √8 x2 = 2 - √8 x3 = 2 + √1 x4 = 2 - √1

Чтобы найти сумму действительных корней, мы исключим комплексные корни (если они есть). В данном случае, все четыре корня действительные. Таким образом, сумма действительных корней равна:

x1 + x2 + x3 + x4 = (2 + √8) + (2 - √8) + (2 + √1) + (2 - √1)

Суммируя эти значения:

Сумма действительных корней = 2 + 2 + 2 + 2 = 8