Question

30 БАЛЛОВ!!!! СРОЧНО!!! №1 Вычислите производную: а) 9x б) x² в) 30x²-10-5x+0,5 г) 3cos3x д) sin 2x е) у=(4x-3)⁹ ж) y=√5x-11 №2 Используя формулы произведения и частного, найдите производную функции: а) y=x sin x б) y=x/1+x²

Answer 1

1) а)9
б)2х
в)60х-5
г)-6sin3x
д)2cos2x
е)36(4х-3)^8
ж)1/2корня из 5х
2)а)у’=х’*sinx+x*sin’x=sinx+x*cosx
б)у’=(х/1)’+(х^2)’=1+2х

Я не уверен, но старался!

Answer 2

Конечно, давайте вычислим производные для каждой из данных функций.

№1:

а) y = 9x

Для вычисления производной простой линейной функции по отношению к x используем правило степенной функции: d/dx(cx^n) = c * n * x^(n-1), где c - коэффициент, n - степень.

y' = d/dx(9x) = 9 * 1 * x^(1-1) = 9

б) y = x^2

d/dx(x^2) = 2 * x^(2-1) = 2x

в) y = 30x^2 - 10 - 5x + 0.5

Для этой функции найдем производную каждого члена по отдельности и сложим результаты:

y' = d/dx(30x^2) - d/dx(10) - d/dx(5x) + d/dx(0.5)

y' = 60x - 0 - 5 + 0 = 60x - 5

г) y = 3cos(3x)

Используем правило для производной косинуса: d/dx(cos(kx)) = -k * sin(kx), где k - коэффициент.

y' = d/dx(3cos(3x)) = -3 * sin(3x)

д) y = sin(2x)

Используем правило для производной синуса: d/dx(sin(kx)) = k * cos(kx), где k - коэффициент.

y' = d/dx(sin(2x)) = 2 * cos(2x)

е) y = (4x - 3)^9

Используем цепное правило (правило степени и цепное правило): d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x).

Пусть u = 4x - 3, тогда y = u^9. Найдем производные:

u' = d/dx(4x - 3) = 4 y' = d/du(u^9) * d/dx(4x - 3) = 9u^8 * 4 = 36u^8

Теперь вернемся к x:

y' = 36(4x - 3)^8

ж) y = √(5x - 11)

Используем цепное правило (правило степени и цепное правило) с квадратным корнем: d/dx(√(f(x))) = (1/2√(f(x))) * f'(x).

Пусть u = 5x - 11, тогда y = √u. Найдем производные:

u' = d/dx(5x - 11) = 5 y' = (1/(2√u)) * 5 = 5/(2√(5x - 11))

№2:

а) y = x * sin(x)

Для нахождения производной этой функции используем правило произведения (производная произведения функций u(x)v(x) равна u(x)v'(x) + v(x)u'(x)):

y' = (x * sin(x))' = x * cos(x) + sin(x)

б) y = x / (1 + x^2)

Для нахождения производной этой функции используем правило частного (производная частного функций u(x)/v(x) равна (u'(x)v(x) - v'(x)u(x)) / [v(x)]^2):

y' = (x / (1 + x^2))' = [(1 + x^2) * 1 - x * 2x] / (1 + x^2)^2 y' = (1 + x^2 - 2x^2) / (1 + x^2)^2 y' = (1 - x^2) / (1 + x^2)^2

Вот и производные для данных функций.