Question

Числитель несократимой дроби на 3 меньше ее знаменателя. Если эту дробь умножить на 2 и прибавить дробь, обратную первоначальной дроби, получиться 57/20. Найдите исходную дробь

Answer 1

Пусть x - знаменатель, тогда x-3 числитель. Составим уравнение.
$\frac{x-3}{x} *2+ \frac{x}{x-3} = \frac{57}{20}$
Приведём первую часть к общему знаменателю.
$\frac{2(x-3)(x-3)+x^{2}}{x(x-3) } = \frac{57}{20} , \frac{3x^{2} -12x+18}{x(x-3)} = \frac{57}{20}$
Перемножим крестом.
$20(3 x^{2} -12x+18)=57( x^{2} -3x)$
Решим
$60 x^{2} -240x+360=57 x^{2} -171x$
$3 x^{2} -69x+360=0$
$x^{2} -23x+120=0$
$(x-15)(x-8)=0$
$x-15=0, x-8=0$
$x=15, x=8$
Получаем два возможных варианта,
$\frac{15-3}{15} = \frac{12}{15}$ этот вариант можно сократить, не подходит по условию.
Остаётся вариант
$\frac{8-3}{8} = \frac{5}{8}$ - сократить нельзя, подходит по условию

Ответ:  $\frac{5}{8}$

Answer 2

Давайте обозначим числитель и знаменатель несократимой дроби как $x$ и $y$ соответственно. Условие гласит, что:

$\frac{x}{y} = \frac{y - 3}{y}$

Теперь мы можем записать выражение для второй дроби, которую нужно прибавить:

$\frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{y}{x}$

Из условия известно, что если мы умножим исходную дробь на 2 и прибавим к ней дробь, обратную ей, то получим $\frac{57}{20}$. То есть:

$2\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{57}{20}$

Теперь мы можем объединить оба уравнения:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{57}{40}$

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом замены переменных. Пусть $u = \frac{x}{y}$, тогда $u + \frac{1}{u} = \frac{57}{40}$. Домножим обе стороны на 40u, чтобы избавиться от дробей:

$40u^2 + 40 = 57u$

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

$40u^2 - 57u + 40 = 0$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант равен:

$\Delta = b^2 - 4ac = (-57)^2 - 4(40)(40) = 3249 - 6400 = -3151$

Поскольку дискриминант отрицательный, у нас нет действительных корней. Это означает, что исходная задача была сформулирована неправильно или содержит ошибку. Пожалуйста, проверьте начальные данные и условия задачи.