Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^2+121/x на отрезке [1;20]

Answer 1

Находим производную функц.      x^2+121
                                                     y=-----------
                                                              x
Для начала ее преобразуем к виду: y= x\1+121\x
y`= 1 - 121\x^2 =>    x^2 - 121
                                 ------------ 
                                      x^2

Приравниваем к нулю.      x^2 - 121
                                           ------------  = 0 
                                               x^2

       (11^2)
x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = >   (x-11)(x+11)=0 x=11( подходит) x=-11( не подходит т.к. не находится на нужном промежутке)
y(1)= 1+121= 122 не подходит
y(11)= 11+ 121\11 = 22 - наименьшее значение - ответ
y(20) 20+121\20 = 26 c лишним - не подходит
Ответ: 22
  

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = x^2 + 121/x на отрезке [1;20], мы можем воспользоваться методом дифференциального исчисления. Для этого найдем производную этой функции и приравняем её к нулю, чтобы найти точки экстремума.

Сначала найдем производную функции y:

y = x^2 + 121/x

y' = 2x - 121/x^2

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2x - 121/x^2 = 0

Умножим обе стороны на x^2:

2x^3 - 121 = 0

2x^3 = 121

x^3 = 121/2

x = (121/2)^(1/3)

x ≈ 4.791

Теперь нам нужно проверить значения функции на концах отрезка [1;20] и найденной точке экстремума x ≈ 4.791.

1. При x = 1: y(1) = 1^2 + 121/1 = 1 + 121 = 122

2. При x ≈ 4.791: y(4.791) ≈ 4.791^2 + 121/4.791 ≈ 22.99 + 25.26 ≈ 48.25

3. При x = 20: y(20) = 20^2 + 121/20 = 400 + 6.05 = 406.05

Самое маленькое значение функции y на отрезке [1;20] равно примерно 48.25 и достигается при x, близком к 4.791.