Question

Дано уравнение 2cos^2 x +2sin 2x=3

Answer 1

$2cos^2 x +2sin 2x=3$
$sin2x=2sinxcosx; \\ 2cos^2x+4sinxcosx-3=0 \\ 2cos^2x+4sinxcosx-(3sin^2x+3cos^2x)=0 \\ 2cos^2x+4sinxcosx- 3sin^2x-3cos^2x=0 \\ -cos^2x+4sinxcosx-3sin^2x=0 \\ cos^2x-4sinxcosx+3sin^2x=0$
Поделим на  $cos^2x$, получаем:
$cos^2x-4sinxcosx+3sin^2x=0 \\ 1-4tgx+3tg^2x=0 \\ 3tg^2x-4tgx+1=0 \\ tgx=t \\ 3t^2-4t+1=0 \\ \left[\begin{array}{ccc} t_{1} = 1 \\t_{2}= \frac{1}{3} \end{array}\right \left[\begin{array}{ccc} tgx = 1 \\tgx= \frac{1}{3} \end{array}\right \left[\begin{array}{ccc} x = \frac{ \pi}{4}+ \pi k \\x= arctg \frac{1}{3} +2 \pi k \end{array}\right$
k= -1; x= -3π/4; от arctg, возможно, есть корни, но не уверен.

Answer 2

Для решения данного уравнения 2cos^2(x) + 2sin(2x) = 3, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Давайте начнем с тождества для синуса удвоенного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим это в уравнение:

2cos^2(x) + 2(2sin(x)cos(x)) = 3

Упростим:

2cos^2(x) + 4sin(x)cos(x) - 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Давайте обозначим cos(x) как t и решим это уравнение:

2t^2 + 4t - 3 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с использованием дискриминанта:

D = 4^2 - 4(2)(-3) = 16 + 24 = 40

Теперь используем формулу для нахождения корней:

t = (-b ± √D) / (2a)

где a = 2, b = 4, и D = 40.

t = (-4 ± √40) / (2 * 2) t = (-4 ± 2√10) / 4 t = (-1 ± √10/2)

Таким образом, у нас есть два возможных значения t:

1. t = (-1 + √10)/2
2. t = (-1 - √10)/2

Теперь, чтобы найти значения x, используем обратную функцию косинуса:

1. cos(x) = (-1 + √10)/2
2. cos(x) = (-1 - √10)/2

Для первого уравнения:

x = arccos[(-1 + √10)/2]

Для второго уравнения:

x = arccos[(-1 - √10)/2]

Оба угла x можно найти с помощью обратной функции косинуса.