Question

Решите пожалуйста sinx+2cos2x=3/2

Answer 1

$sinx+2cos2x= \frac{3}{2} \ |*2 \\ 2sinx+4cos2x=3 \\ 2sinx+4(1-2sin^2x)=3\\ sinx=t,\ \ -1 \leq t \leq 1 \\ 2t+4(1-2t^2)=3\\2t+4-8t^2=3 \\ 0=8t^2-2t+3-4 \\ 8t^2-2t-1=0 \\ D=4+4*8=36=6 ^{2} \\ \\ t= \frac{2-6}{2*8} =- \frac{1}{4} \\ \\ t= \frac{2+6}{2*8} = \frac{1}{2} \\ \\ 1)sinx=- \frac{1}{4} \\ x=(-1) ^{n} *(-arcsin\frac{1}{4} )+ \pi n=(-1) ^{n+1} *arcsin\frac{1}{4} + \pi n \\ \\ 2)\ sinx= \frac{1}{2} \\ \\ x=(-1) ^{n} * \frac{ \pi }{6} + \pi n$

$OTBET: (-1) ^{n+1} *arcsin\frac{1}{4} + \pi n ; \ (-1) ^{n} * \frac{ \pi }{6} + \pi n$, n∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнение sin(x) + 2cos(2x) = 3/2 подробно.

Первый шаг: Применение тригонометрических тождеств

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы выразить sin(x) и cos(2x) через одну переменную. Воспользуемся следующими тождествами:

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Заменим cos(2x) в уравнении:

sin(x) + 2(1 - 2sin^2(x)) = 3/2

Второй шаг: Упрощение уравнения

Раскроем скобки и упростим уравнение:

sin(x) + 2 - 4sin^2(x) = 3/2

Третий шаг: Приведение подобных слагаемых

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

-4sin^2(x) + sin(x) - 1/2 = 0

Четвертый шаг: Решение квадратного уравнения

Мы получили квадратное уравнение вида as^2 + bs + c = 0, где a = -4, b = 1 и c = -1/2. Решим его с помощью квадратного уравнения:

sin(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

sin(x) = (-1 ± √(1 - 4(-4)(-1/2))) / (2(-4))

sin(x) = (-1 ± √(1 + 8)) / -8

sin(x) = (-1 ± √9) / -8

Пятый шаг: Нахождение значений sin(x)

Разделим на -8 и упростим:

sin(x) = (1 ± 3) / 8

sin(x) = 4/8 = 1/2 или sin(x) = -2/8 = -1/4

Шестой шаг: Нахождение значений x

Теперь найдем значения x, соответствующие найденным значениям sin(x). Для этого воспользуемся таблицей значений синуса:

sin(x) = 1/2 соответствует x = π/6 + 2πn, где n - целое число.

sin(x) = -1/4 соответствует x = 7π/6 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, решения уравнения sin(x) + 2cos(2x) = 3/2 являются:

x = π/6 + 2πn, где n - целое число,

или

x = 7π/6 + 2πn, где n - целое число.

*Примечание: Важно помнить, что тригонометрические функции имеют периодические свойства, поэтому решения могут повторяться через каждый полный оборот (2π) или половину оборота (π).*