Question

Помогите, пожалуйста, срочно решить два примера 1. Sqrt(2x+3)>=x-6 2.sqrt(x-5)-1=sqrt(10-x)

Answer 1

$\sqrt{2x+3} \geq x-6$
1)система:                   2) система:
х-6<0           или         х-6≥0 
2x+3≥0                        2х+3≥х²-12х+36

$1) \left \{ {{x\ \textless \ 6} \atop {x \geq -1.5}} \right. \ \textless \ =\ \textgreater \ -1.5 \leq x\ \textless \ 6 \\ 2) \left \{ {{x \geq 6} \atop { x^{2} -14x+33 \leq 0}} \right. \left \{ {{x \geq 6} \atop {3 \leq x \leq 11}} \right. \ \textless \ =\ \textgreater \ 6 \leq x \leq 11 \\ -1.5 \leq x \leq 11$
отв: х∈[-1.5;11]

$\sqrt{x-5} -1= \sqrt{10-x} \\ODZ: \left \{ {{x-5 \geq 0} \atop {10-x \geq 0}} \right. \left \{ {{x \geq 5} \atop {x \leq 10}}\ \textless \ =\ \textgreater \ 5 \leq x \leq 10 \right. \\ (\sqrt{x-5} -1) ^{2} = \sqrt{10-x} ^{2} \\ x-5-2 \sqrt{x-5} +1=10-x \\ 2 \sqrt{x-5} =2x-14 \\ \sqrt{x-5}=x-7 \\ \left \{ {{x-7 \geq 0} \atop {x-5= x^{2} -14x+49}} \right. \\ \left \{ {{x\geq 7} \atop { x^{2} -15x+54=0}} \right. \\ \left \{ {{x \geq 7} \atop {x=6;x=9}} \right. \\ x=9$
отв:9

Answer 2

Давайте посмотрим на каждый из этих двух математических уравнений поочередно и решим их.

1. Уравнение: √(2x + 3) ≥ x - 6 + 2√(x - 5) - 1 = √(10 - x)

Начнем с этого уравнения. Мы видим, что оно содержит корни (sqrt), поэтому для начала возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(√(2x + 3))^2 ≥ (x - 6 + 2√(x - 5) - 1)^2 = (√(10 - x))^2

2x + 3 ≥ (x - 6 + 2√(x - 5) - 1)^2 = 10 - x

Теперь разберемся с правой стороной уравнения, раскрыв скобки:

2x + 3 ≥ (x - 6 + 2√(x - 5) - 1)^2 = (x - 6 + 2√(x - 5))^2 - 2(x - 6 + 2√(x - 5)) + 1

Теперь упростим это выражение:

2x + 3 ≥ (x - 6)^2 + 4(x - 6)√(x - 5) + 4(x - 5) + 1 - 2x + 12 - 4√(x - 5) + 1

Теперь выразим все корни и квадратные скобки:

2x + 3 ≥ x^2 - 12x + 36 + 4(x - 6)√(x - 5) + 5 - 2x + 12 - 4√(x - 5) + 1

Теперь объединим подобные члены:

2x + 3 ≥ x^2 - 12x + 36 - 2x + 12 + 5 + 4(x - 6)√(x - 5) - 4√(x - 5) + 1

Упростим дальше:

2x + 3 ≥ x^2 - 14x + 53 + 4(x - 6)√(x - 5) - 4√(x - 5)

Теперь выразим все члены, содержащие корень (√):

2x - x^2 + 14x - 53 - 4(x - 6)√(x - 5) + 4√(x - 5) - 3 ≥ 0

Соберем подобные члены:

(15x - x^2 - 56 - 3) - 4(x - 6)√(x - 5) + 4√(x - 5) ≥ 0

(x^2 - 15x + 59) + 4√(x - 5)(6 - x) ≥ 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы решить это неравенство, давайте рассмотрим его две части:

1. x^2 - 15x + 59 ≥ 0 2. 4√(x - 5)(6 - x) ≥ 0

1. Рассмотрим первую часть: x^2 - 15x + 59 ≥ 0

Чтобы найти корни этого квадратного уравнения, используем дискриминант D = b^2 - 4ac:

D = (-15)^2 - 4(1)(59) = 225 - 236 = -11

Дискриминант отрицателен, что означает, что уравнение не имеет действительных корней. Значит, оно всегда положительно.

2. Рассмотрим вторую часть: 4√(x - 5)(6 - x) ≥ 0

Для того чтобы понять, когда эта часть неравенства положительна, рассмотрим знаки обоих множителей:

- √(x - 5) всегда неотрицательно, так как корень из любого неотрицательного числа также неотрицателен. - (6 - x) будет положительным, если x < 6, и отрицательным, если x > 6.

Итак, нам нужно рассмотреть два случая:

a. Если x < 6, то оба множителя положительны, и произведение положительных чисел также положительно.

b. Если x > 6, то первый множитель положителен, а второй отрицателен. Произведение положительного и отрицательного числа будет отрицательным.

Итак, мы имеем следующие решения для второй части неравенства:

a. Если x < 6, то 4√(x - 5)(6 - x) > 0 b. Если x > 6, то 4√(x - 5)(6 - x) < 0

Теперь объединим результаты для обеих частей неравенства:

1. x^2 - 15x + 59 ≥ 0 (всегда положительно) 2. 4√(x - 5)(6 - x) ≥ 0 (x < 6) или 4√(x - 5)(6 - x) < 0 (x > 6)

Таким образом, решения для исходного неравенства будут следующими:

a. Если x < 6, то удовлетворяет условию x^2 - 15x + 59 ≥ 0 (всегда положительно) и 4√(x - 5)(6 - x) > 0, следовательно, x < 6 - решение. b. Если x > 6, то