Question

3cos^2x-sin2x=0,5 ?????

Answer 1

3cos²x-sin2x=0.5
6cos²x-2sin2x=1            1=sin²x+cos²x
6cos²x-2sin2x-sin²x-cos²x=0
5cos²x-4sinxcosx-sin²x=0      разделим всё уравнение на cos²x, учитывая , что  cosx≠π\2+πk    k∈Z
5-4tgx-tg²x=0
tg²x+4tgx-5=0      введём замену переменной:   tgx=y
y²+4y-5=0
D=16+20=36
y1=(-4+6)\2=1
y2=(-4-6)\2=-5  возвращаемся к замене :
1) tgx=y1
tgx=1
x=arctg1+πn    n∈Z
x=π\4+πn      n∈Z
2) tgx=-5
x=-arctg5+πm    m∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте разберемся по шагам. Уравнение, которое вы предоставили, выглядит следующим образом:

3cos^2x - sin2x = 0,5

Давайте приведем его к более удобному виду для решения. Заметим, что синус двойного угла можно представить через тригонометрические формулы:

sin2x = 2sinx*cosx

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

3cos^2x - 2sinx*cosx = 0,5

Мы можем заметить, что у нас есть два члена косинуса. Давайте заменим один из них на синус, используя тригонометрическую формулу:

cos^2x = 1 - sin^2x

Подставим это обратно в уравнение:

3(1 - sin^2x) - 2sinx*cosx = 0,5

Раскроем скобки и приведем уравнение к более простому виду:

3 - 3sin^2x - 2sinx*cosx = 0,5

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

3sin^2x + 2sinx*cosx - 2,5 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sinx. Давайте заменим sinx на t и решим квадратное уравнение:

3t^2 + 2tcost - 2,5 = 0

Получаем:

t = (-2cosx +- sqrt((2cosx)^2 - 4 * 3 * (-2,5))) / (2 * 3)

Теперь решим это квадратное уравнение относительно t с использованием дискриминанта:

D = (2cosx)^2 - 4 * 3 * (-2,5)

D = 4cos^2x + 30

Теперь, в зависимости от значения дискриминанта D, мы можем найти значения sinx. Если D > 0, то у нас есть два корня. Если D = 0, то у нас есть один корень. Если D < 0, то у нас нет решений.

Подставим D в наше уравнение и найдем значения sinx:

Если D > 0: t1 = (-2cosx + sqrt(4cos^2x + 30