Question

На сторонах AB и BC треугольника ABС отмечены точки P и Q так, что углы BPC и BQA равны, BP=BQ, AB=15, BQ=8, CP=9. Найдите периметр треугольника COQ, где O — точка пересечения прямых AQ и CP

Answer 1

Рассмотрим ΔВРС и ΔBQA  они равны по второму признаку , так как BP=BQ ∠B общий,∠BPC=∠BQA
⇒AB=BC=15⇒QC=15-8=7 и АР=7, ∠BAQ=∠BCPиз равенства ΔBPC и ΔBQA 
∠APO=∠CQO как смежные с углами ∠BPC и ∠BQA⇒ ΔAPO=ΔCQO⇒PO=OQ
⇒CO+OQ=9
PΔCOQ=9+7=16

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно найти координаты точки O и затем вычислить периметр треугольника COQ. Давайте начнем с нахождения координат точки O.

1. Найдем координаты точек A, B, и C: Пусть A(0, 0), B(15, 0), C(x, y).

2. Известно, что BP = BQ. Таким образом, точки P и Q равноудалены от точки B. Поэтому точки P и Q находятся на биссектрисе угла ABC.

3. Найдем координаты точки P: Точка P делит отрезок BC в отношении CP:PB = 9:8, то есть CP = 9x/17 и PB = 8x/17. Точка P находится от точки B на расстоянии 8x/17 вдоль отрезка BC. Таким образом, координаты точки P будут (15 - 8x/17, 0).

4. Теперь найдем координаты точки Q: Точка Q делит отрезок AB в отношении BQ:PA = 8:15, то есть BQ = 8y/23 и PA = 15y/23. Точка Q находится от точки A на расстоянии 15y/23 вдоль отрезка AB. Таким образом, координаты точки Q будут (15y/23, 0).

5. Теперь мы можем найти координаты точки O, которая является пересечением прямых AQ и CP. Для этого нужно найти уравнения прямых AQ и CP, а затем решить систему уравнений.

Уравнение прямой CP: y = (9x/17)

Уравнение прямой AQ: y = (-15y/23) * (x - 15/23)

Теперь решим систему уравнений, приравнивая выражения для y:

(9x/17) = (-15y/23) * (x - 15/23)

Решим это уравнение для y:

9x/17 = -15y/23 * (x - 15/23)

Умножим обе стороны на 17 * 23, чтобы избавиться от знаменателей:

9 * 23 * x = -15 * 17 * y * (x - 15/23)

После упрощения получим:

207x = -255y(x - 15/23)

207x = -255xy + 3825y

Теперь выразим y:

y = (207x) / (255x - 3825)

6. Теперь мы можем найти координаты точки O, подставив y обратно в одно из уравнений прямых, например, уравнение прямой CP:

y = (9x/17)

(207x) / (255x - 3825) = (9x/17)

Теперь решим это уравнение для x. Умножим обе стороны на 17(255x - 3825):

207x(255x - 3825) = 9x(17)(255x - 3825)

Раскроем скобки:

52885x^2 - 796275x = 3825 * 17x^2 - 3825 * 17 * 15

Раскроем дополнительно:

52885x^2 - 796275x = 6525x^2 - 3825 * 17 * 15

Теперь преобразуем и упростим уравнение:

52885x^2 - 6525x^2 = 796275x - 3825 * 17 * 15

46360x^2 = 796275x - 3825 * 17 * 15

46360x^2 - 796275x + 3825 * 17 * 15 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение для x. Используйте дискриминант, чтобы найти два значения x:

D = (796275)^2 - 4 * 46360 * 3825 * 17 * 15

D = 63364800625 - 5866992000

D = 57497808625

x1,2 = (796275 ± √D) / (2 * 46360)

x1 = (796275 + √57497808625) / (2 * 46360)

x2 = (796275 - √57497808625) / (2 * 46360)

Вычислите x1 и x2:

x1 ≈ 3.558 x2 ≈ 12.249

Теперь, когда у нас есть значения x, мы можем найти соответствующие значения y с помощью уравнения:

y = (207x) / (255x - 3825)

Для x1:

y1 ≈ 2.314

Для x2:

y2 ≈ -6.579

Таким образом, координаты точки O примерно равны (3.558, 2.314) и (12.249, -6.579).

7. Теперь мы можем найти длины отрезков CO и OQ и, наконец, периметр треугольника COQ.

Длина CO: CO = √((x - 0)^2 + (y - 0)^2)

Для (3.558, 2.314):

CO1 ≈ √(3.558^2 + 2.314^2) ≈ 4.265

Для (12.249, -6.579):

CO2 ≈ √(12.249^2 + (-6.579)^2) ≈ 13.709

Длина OQ: OQ = √((12.249 - 15/23 * 15)^2 + (-6.579)^2)

OQ ≈ √((12.249 - 6.957 * 15)^2 + (-6.579)^2) ≈ 11.005

Теперь найдем периметр треугольника COQ:

Периметр COQ1 ≈ CO1 + OQ ≈ 4.265 + 11.005 ≈ 15.27

Периметр COQ2 ≈ CO2 + OQ ≈ 13.709 + 11.005 ≈ 24.714

Итак, периметр треугольника COQ равен примерно 15.27 или 24.714, в зависимости от того, какое из двух возможных значений координаты O вы выберете.