Question

Найдите область определения , критические точки , промежутки монотонности , точки экстремума и экстремумы функции y=x-lnx

Answer 1

Y = x -Lnx
Облость определения :  x ∈ (0;∞)
y ' = (x -Lnx) ' = (x) ' - (Lnx) ' =1 - 1/x =(x - 1)/x
Критические точки :
y ' = 0  ;
 (x - 1)/x =0 ;
x = 1 ;  Эта единстветннуая  критическая точка для  данной функции
Промежутки  монотонности:
функция убывает ,если  y ' ≤ 0  ;
(x - 1)/x ≤ 0  т.е. при
  x ∈ (0;1]
 функция возрастает, если  y ' ≥ 0 ;
(x - 1)/x ≥ 0  т.е. при  x ∈ [1; ∞ )
Единстветнная  точка  экстремума :  x=1
 В  этой  точке(точка экстремума) функция  принимает минимальное
значение   min(y) =  1 - Ln1=1 - 0 =1

Answer 2

Функция y = x - ln(x) является комбинацией линейной функции и логарифмической функции. Давайте рассмотрим каждую часть отдельно.

1. Линейная функция: y = x Область определения линейной функции не ограничена, она может принимать любое значение x.

2. Логарифмическая функция: y = -ln(x) Область определения логарифмической функции определена только для положительных значений x, то есть x > 0.

Теперь объединим области определения обеих функций. Область определения функции y = x - ln(x) будет состоять из положительных значений x, то есть x > 0.

Теперь рассмотрим другие свойства функции:

1. Критические точки: Чтобы найти критические точки функции, необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. В данном случае, производная функции равна 1 - 1/x. Решим уравнение 1 - 1/x = 0: 1 - 1/x = 0 1 = 1/x x = 1 Таким образом, критическая точка функции находится при x = 1.

2. Промежутки монотонности: Чтобы определить промежутки монотонности функции, необходимо исследовать знак производной функции на разных интервалах. Для этого возьмем значения x вне критической точки x = 1: - Если x < 1, то производная функции будет положительной, следовательно, функция будет возрастать на этом интервале. - Если x > 1, то производная функции будет отрицательной, следовательно, функция будет убывать на этом интервале.

3. Точки экстремума и экстремумы: Поскольку функция y = x - ln(x) является комбинацией линейной и логарифмической функций, она не имеет точек экстремума.

Итак, область определения функции y = x - ln(x) состоит из положительных значений x (x > 0). Критическая точка находится при x = 1. Функция возрастает при x < 1 и убывает при x > 1. Функция не имеет точек экстремума.