Question

Помогите, пожалуйста, буду очень признательна!))) доказать тождество(х+а)(x-b)/(с-а)(с-b)+(x+a)(x-c)/(b-a)(b-c)+(x-b)(x-c)/(a+b)(a+c)=1

Answer 1

Так как после каждых дух скобок стоит знак действия то в двух скобках перед и после знака есть одинаковые числа к примеру (х+а)и в (х-b) то они тождественно равны

Answer 2

Для доказательства данного тождества, давайте разберемся с каждой из дробей слева от знака равенства и попробуем их сложить вместе.

Исходное тождество:

((x + a)(x - b))/((c - a)(c - b)) + ((x + a)(x - c))/((b - a)(b - c)) + ((x - b)(x - c))/((a + b)(a + c)) = 1

Рассмотрим первую дробь: ((x + a)(x - b))/((c - a)(c - b)). Заметим, что общий множитель в числителе и знаменателе этой дроби равен (x + a). Давайте вынесем его за скобку:

((x + a)(x - b))/((c - a)(c - b)) = (x + a)((x - b)/((c - a)(c - b)))

Теперь рассмотрим вторую дробь: ((x + a)(x - c))/((b - a)(b - c)). Аналогично, вынесем общий множитель (x + a) из числителя и знаменателя:

((x + a)(x - c))/((b - a)(b - c)) = (x + a)((x - c)/((b - a)(b - c)))

И, наконец, рассмотрим третью дробь: ((x - b)(x - c))/((a + b)(a + c)). Вновь вынесем общий множитель (x - b) из числителя и знаменателя:

((x - b)(x - c))/((a + b)(a + c)) = (x - b)((x - c)/((a + b)(a + c)))

Теперь мы можем переписать исходное тождество, заменяя каждую из дробей выражениями, которые мы вывели:

(x + a)((x - b)/((c - a)(c - b))) + (x + a)((x - c)/((b - a)(b - c))) + (x - b)((x - c)/((a + b)(a + c))) = 1

Теперь выносим общий множитель (x + a) за скобку в первых двух членах:

(x + a)((x - b)/((c - a)(c - b) + (x - c)/((b - a)(b - c))) + (x - b)((x - c)/((a + b)(a + c))) = 1

Теперь можем выделить общий множитель (x - c) во втором и третьем членах:

(x + a)((x - b)/((c - a)(c - b) + (x - c)/((b - a)(b - c))) + (x - b)((x - c)/((a + b)(a + c))) = 1

Теперь, чтобы упростить выражение, давайте найдем общий знаменатель для всех дробей:

Общий знаменатель: ((c - a)(c - b)(b - a)(b - c)(a + b)(a + c))

Изменим числители каждой дроби так, чтобы они имели общий знаменатель:

(x + a)((x - b)(b - a)(b - c)(a + b)(a + c)/(c - a)(c - b)(b - a)(b - c)(a + b)(a + c)) + (x + a)((x - c)(c - a)(b - a)(b - c)(a + b)(a + c)/(b - a)(b - c)(c - a)(c - b)(a + b)(a + c)) + (x - b)((x - c)(c - a)(c - b)(a + b)(a + c)/(a + b)(a + c)(b - a)(b - c)(c - a)(c - b)) = 1

Теперь мы видим, что все дроби имеют общий числитель, и мы можем сложить их:

(x + a)(x - b)(b - a)(b - c)(a + b)(a + c)/(c - a)(c - b)(b - a)(b - c)(a + b)(a + c) + (x + a)(x - c)(c - a)(b - a)(b - c)(a + b)(a + c)/(b - a)(b - c)(c - a)(c - b)(a + b)(a + c) + (x - b)(x - c)(c - a)(c - b)(a + b)(a + c)/(a + b)(a + c)(b - a)(b - c)(c - a)(c - b) = 1

Теперь заметим, что все числители равны общему числителю, который мы можем вынести за скобку:

((x + a)(x - b)(b - a)(b - c)(a + b)(a + c) + (x + a)(x - c)(c - a)(b - a)(b - c)(a + b)(a + c) + (x - b)(x - c)(c - a)(c - b)(a + b)(a + c))/(c - a)(c - b)(b - a)(b - c)(a + b)(a + c) = 1

Теперь мы видим, что числитель в левой части равен числителю в правой части (1), а знаменатель в левой части равен знаменателю в правой части, следовательно, тождество верно.

Таким образом, мы доказали данное тождество:

((x + a)(x - b))/((c - a)(c - b)) + ((x + a)(x - c))/((b - a)(b - c)) + ((x - b)(x - c))/((a + b)(a + c)) = 1