Question

Докажите что функция f является возрастающей функциейf(x)=(x-2)^2 , где x>2

Answer 1

Чтобы доказать это, нужно предусмотреть, что большим значениям x соответствует большим значениям y. Допустим, что
$x_2>x_1$
Тогда должно соблюдаться 2 условия:
$x_2>x_1>2 \\ f(x_2)>f(x_1)$
Предположим, что выполняется неравенство:
$(x_2-2)^2>(x_1-2)^2$
Докажем это:
$x_2-2>x_1-2 \\ x_2-x_1>0$
Поскольку разность чисел x2-x1 положительное число, то функция является возрастающей.

Answer 2

Для доказательства, что функция $f(x) = (x - 2)^2$ является возрастающей на интервале $x > 2$, мы можем воспользоваться производной функции. Если производная функции положительна на данном интервале, то функция является возрастающей.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f(x) = (x - 2)^2$

Для нахождения производной воспользуемся правилом степенной функции и цепным правилом:

$f'(x) = 2(x - 2)^1 \cdot 1 = 2(x - 2)$

Теперь, чтобы доказать, что функция $f(x)$ возрастающая, нужно убедиться, что $f'(x)$ положительна на интервале $x > 2$.

Для $x > 2$ значение $x - 2$ положительно. Следовательно, $f'(x) = 2(x - 2)$ также положительна на этом интервале. Это означает, что производная и, следовательно, функция $f(x)$, возрастают при $x > 2$.

Таким образом, функция $f(x) = (x - 2)^2$ является возрастающей на интервале $x > 2$.