Question

F(x) первообразная функции f(x) = (5x - 3) в квадрате. найти F(3/5), если F(1) = 2

Answer 1

$\int(5x-3)^2\,dx=\int(25x^2-30x+9)\,dx=\frac{25}{3}x^3-15x^2+9x+C$

Где С - это некоторая константа. Её можно узнать из свойства
F(1)=2.
$F(1)=\frac{25}{3}*1^3-15*1^2+9*1+C$

$F(1)=\frac{25}{3}-6+C$

$F(1)=8\frac{1}{3}-6+C$

$F(1)=2\frac{1}{3}+C$

По условию F(1)=2.

Найдем константу С.

$2\frac{1}{3}+C=2$

$C=-\frac{1}{3}$

Значит

$F(x)=\frac{25}{3}x^3-15x^2+9x-\frac{1}{3}$

$F(\frac{3}{5})=\frac{25}{3}(\frac{3}{5})^3-15(\frac{3}{5})^2+9*\frac{3}{5}-\frac{1}{3}=$

$=\frac{9}{5}-\frac{27}{5}+\frac{27}{5}-\frac{1}{3}=\frac{9}{5}-\frac{1}{3}=\frac{27-5}{15}=\frac{22}{15}=1\frac{7}{15}$

Answer 2

Для того чтобы найти первообразную функции f(x) = (5x - 3)^2, сначала раскроем скобки:

f(x) = (5x - 3)^2 = 25x^2 - 30x + 9

Теперь найдем первообразную функции F(x) для f(x):

F(x) = ∫(25x^2 - 30x + 9) dx F(x) = (25/3)x^3 - 15x^2 + 9x + C

Где C - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти F(3/5), подставим x = 3/5 в выражение для F(x):

F(3/5) = (25/3)(3/5)^3 - 15(3/5)^2 + 9(3/5) + C F(3/5) = (25/3)(27/125) - 15(9/25) + 27/5 + C F(3/5) = 27/15 - 27/5 + 27/5 + C F(3/5) = 9/5 + C

Теперь, используя информацию о F(1) = 2, найдем значение постоянной C:

2 = (25/3)(1)^3 - 15(1)^2 + 9(1) + C 2 = 25/3 - 15 + 9 + C 2 = 19/3 + C C = 2 - 19/3 C = 6/3 - 19/3 C = -13/3

Таким образом, найдем значение F(3/5):

F(3/5) = 9/5 - 13/3 F(3/5) = (27 - 65)/15 F(3/5) = -38/15