Question

чему равно расстояние до начала координат от точки , в которой касательная к кривой y=(x-1/2)^2 + 3/2 параллельна прямой y=3x+7

Answer 1

Уравнение касательной к функции в виде у = кх + в имеет коэффициент к равным производной функции.
$\frac{d}{dx} ((x- \frac{1}{2} )^2+ \frac{3}{2} )=2x-1$.
Составляем уравнение 2х - 1 = 3
                                            2х = 4
                                              х = 4/2 = 2.
Ордината равна у = (2 - (1/2))²+(3/2) = (9/4) + (6/4) = 15/4 = 3,75.
Расстояние от начала координат до точки касания равно:
√2²+(15/4)²) = √(4+(225/16)) = 17/4.

Answer 2

Для найти расстояние от точки до начала координат, когда касательная к данной кривой параллельна прямой, можно воспользоваться следующим методом.

Сначала найдем уравнение касательной к кривой $y = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}$. Для этого найдем производную $y$ по $x$:

$y = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}$

$\frac{dy}{dx} = 2(x - \frac{1}{2})$

Теперь, чтобы найти уравнение касательной, учитывая, что она параллельна прямой $y = 3x + 7$, нам нужно, чтобы их угловые коэффициенты были равны. У прямой $y = 3x + 7$ угловой коэффициент равен 3. Таким образом, уравнение касательной к данной кривой будет иметь тот же угловой коэффициент, то есть 3.

Теперь мы можем записать уравнение касательной:

$y - y_1 = m(x - x_1)$

где $m$ - угловой коэффициент (3), а $(x_1, y_1)$ - координаты точки касания касательной к кривой. Мы будем искать эту точку.

Теперь подставим уравнение кривой и производную в уравнение касательной:

$(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2} - y_1 = 3(x - x_1)$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $(x_1, y_1)$. Мы также знаем, что касательная касается кривой, поэтому $y_1$ будет равно значению кривой в точке касания:

$y_1 = (x_1 - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}$

Таким образом, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными $(x_1, y_1)$. Решив их, вы найдете точку касания, а затем расстояние от этой точки до начала координат можно найти, используя теорему Пифагора:

$d = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$

Это расстояние будет искомым расстоянием от точки до начала координат.