Question

Докажите тождество: sin15° + tg30° * cos15° = √6/3

Answer 1

Для того, чтобы доказать тождество, для начала решим его левую часть.
sin15° + tg30° * cos15°=
$\frac{ \sqrt{3}-1 }{ 2\sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } * \frac{ \sqrt{3}+1 }{2 \sqrt{2} } =\frac{ \sqrt{3}-1 }{ 2\sqrt{2} } + \frac{ \sqrt{3} +1}{2 \sqrt{6} } = \frac{3- \sqrt{3}+ \sqrt{3} +1 }{2 \sqrt{6} } = \frac{4}{2 \sqrt{6} } = \frac{2}{ \sqrt{6} } = \frac{2 \sqrt{6} }{6} = \frac{ \sqrt{6} }{3}$
$\frac{ \sqrt{6} }{3} = \frac{ \sqrt{6} }{3}$
Тождество доказано.

Answer 2

Чтобы доказать данное тождество, мы можем использовать тригонометрические идентичности. Давайте разберемся с каждым из членов уравнения.

1. sin(15°): Используем угол половинного значения, чтобы выразить sin(15°): sin(15°) = sin(30°/2) = √(1 - cos(30°)) / 2 sin(30°) = 1/2 (известное значение)

Теперь мы знаем sin(15°).

2. tg(30°): tg(30°) = sin(30°) / cos(30°) = (1/2) / (√3/2) = 1/√3

3. cos(15°): Теперь, чтобы выразить cos(15°), используем угол половинного значения: cos(15°) = cos(30°/2) = √((1 + cos(30°)) / 2) cos(30°) = √3/2 (известное значение)

Теперь мы знаем cos(15°).

Теперь мы можем выразить каждый из членов уравнения и сложить их:

sin(15°) + tg(30°) * cos(15°) = (√(1 - cos(30°)) / 2) + (1/√3) * (√((1 + cos(30°)) / 2))

Теперь, подставим известные значения:

(√(1 - √3/2) / 2) + (1/√3) * (√((1 + √3/2) / 2))

Давайте упростим это выражение:

(√(2 - √3) / 2) + (√(2 + √3) / 2√3)

Теперь мы можем объединить дроби, чтобы получить окончательный ответ:

(√(2 - √3) + √(2 + √3)) / (2√3)

Чтобы проверить, равно ли это √6/3, упростим числитель и знаменатель:

Числитель: √(2 - √3) + √(2 + √3) = √2 - √3 + √2 + √3 = 2√2

Знаменатель: 2√3

Теперь поделим числитель на знаменатель:

(2√2) / (2√3) = √2 / √3 = √(2/3)

Теперь мы видим, что √(2/3) не равно √6/3, следовательно, данное тождество не верно.