Question

Решите неравенство |x+4|^2-7×|x+4|>=0

Answer 1

Х^2+2*4х+16-7х-28=0
х^2+х-12=0
a=1 b=1 c=-12
D=b^2-4ac=1-4*1*(-12)=49=7^2
x1=-b+D/2ac=-1+7/2(-12)=6/-24=-1/4
x2=-b-D/2ac=-1-7/2(-12)=-8/-24=1/3

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, начнем с замены переменной. Обозначим \(|x+4|\) как \(y\), тогда неравенство примет вид:

\(y^2 - 7y \geq 0\).

Теперь давайте решим это квадратное неравенство для \(y\). Сначала найдем его корни, то есть значения \(y\), при которых \(y^2 - 7y = 0\):

\(y(y - 7) = 0\).

Это уравнение имеет два корня: \(y = 0\) и \(y = 7\).

Теперь давайте разберемся с знаками неравенства. Мы знаем, что неравенство \(y^2 - 7y \geq 0\) будет истинным в следующих интервалах:

1. Когда \(y \leq 0\). Это следует из того, что при \(y \leq 0\) оба слагаемых \(y^2\) и \(-7y\) будут неотрицательными, поэтому сумма также неотрицательна.

2. Когда \(0 \leq y \leq 7\). В этом диапазоне первое слагаемое (\(y^2\)) всегда неотрицательно, и второе слагаемое (\(-7y\)) также неотрицательно.

Таким образом, неравенство \(y^2 - 7y \geq 0\) выполняется, если \(y \leq 7\) (то есть, \(y\) находится в интервале \([0, 7]\)).

Теперь, вернемся к исходной переменной \(x\), зная, что \(y = |x+4|\) и \(y\) находится в интервале \([0, 7]\), мы можем записать:

\[0 \leq |x + 4| \leq 7\]

Теперь нам нужно рассмотреть два случая:

1. Когда \(x + 4 \geq 0\), то есть \(x \geq -4\): - В этом случае \(|x + 4| = x + 4\), и неравенство примет вид: \(0 \leq x + 4 \leq 7\). - Вычитаем 4 из всех частей неравенства: \(-4 \leq x \leq 3\).

2. Когда \(x + 4 < 0\), то есть \(x < -4\): - В этом случае \(|x + 4| = -(x + 4)\), и неравенство примет вид: \(0 \leq -(x + 4) \leq 7\). - Умножим все части на -1 и измените направление неравенства: \(0 \geq x + 4 \geq -7\). - Теперь вычитаем 4 из всех частей: \(-4 \geq x \geq -11\).

Итак, у нас есть два интервала, в которых выполняется исходное неравенство:

1. \(-4 \leq x \leq 3\) 2. \(-11 \leq x \leq -4\)

Их объединение даст окончательный ответ:

\[x \in [-11, 3]\]

Это интервал значений \(x\), при которых исходное неравенство \(|x+4|^2 - 7|x+4| \geq 0\) выполняется.