Question

Прямоугольник участок земли 400м в квадрате нужно огородить забором. Каковы должны быть размеры участка, чтобы забор имел наименьшую длину?

Answer 1

Пусть одна сторона участка х метров, тогда вторая сторона 400/х метров.
Р=2·(х + (400/х)) - функция, зависящая от х,
Исследуем её на экстремум.
Находим производную
P`(x)=2-(800/х²)
P`(x)=0
800/x²=2
x²=1600
x=40 м - длина
400/40=10 м - ширина
Ответ. 40 метров - длина, 10 метров - ширина прямоугольника площадью 400 кв. м, имеющего наименьший периметр ( наименьшую длину забора)

Answer 2

Для определения размеров участка, чтобы забор имел наименьшую длину, мы можем использовать принцип дифференцирования. Предположим, что одна из сторон участка имеет длину "x" метров, а другая - "y" метров. Тогда площадь участка будет равна "xy" квадратных метров, и нам нужно найти такие "x" и "y", при которых периметр (длина забора) минимален.

Периметр прямоугольника можно выразить как P = 2x + 2y.

Так как у нас задана площадь участка как 400 квадратных метров, то у нас есть уравнение:

xy = 400

Теперь мы можем выразить одну из переменных через другую из этого уравнения. Допустим, мы выразим "y" через "x":

y = 400 / x

Теперь подставим это выражение для "y" в формулу периметра:

P = 2x + 2(400 / x)

Теперь найдем производную по "x" и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку минимума:

dP/dx = 2 - (800 / x^2) = 0

Теперь решим это уравнение:

2 = 800 / x^2

x^2 = 800 / 2

x^2 = 400

x = √400

x = 20 метров

Теперь, когда мы знаем значение "x", мы можем найти "y" с помощью уравнения xy = 400:

y = 400 / x = 400 / 20 = 20 метров

Итак, чтобы забор имел наименьшую длину, размеры участка должны быть 20 метров в длину и 20 метров в ширину.