Question

Решите уравнение: 4sin в квадрате x +4cos x - 1=0.

Answer 1

4(1-cos²x)+4cosx-1=0
4-4cos²x+4cosx-1=0
4cos²x-4cosx-3=0
cosx=y
4y²-4y-3=0
D=16+4*4*3=64=8²
y₁=(4-8)/8=-4/8=-1/2
y₂=(4+8)/8=12/8>1 нет решений

cosx=-1/2
x=+-2π/3+2πn, n∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, связывающими синус и косинус:

1. sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Также, мы можем выразить sin^2(x) из этого тождества:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение и решить его:

4(1 - cos^2(x)) + 4cos(x) - 1 = 0

Умножим все слагаемые на 4:

4 - 4cos^2(x) + 4cos(x) - 1 = 0

Теперь объединим подобные члены:

-4cos^2(x) + 4cos(x) + 3 = 0

Умножим уравнение на -1, чтобы сделать коэффициент при первом слагаемом положительным:

4cos^2(x) - 4cos(x) - 3 = 0

Теперь давайте введем замену. Пусть t = cos(x). Тогда уравнение примет вид:

4t^2 - 4t - 3 = 0

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 4, b = -4 и c = -3. Подставляем значения:

D = (-4)^2 - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64

Дискриминант положителен, поэтому у нас есть два корня:

t1 = (-b + √D) / (2a) = (4 + 8) / 8 = 3/2 t2 = (-b - √D) / (2a) = (4 - 8) / 8 = -1/2

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной x, используя t = cos(x):

1. t1 = 3/2: cos(x) = 3/2

Это уравнение не имеет решения, так как косинус не может быть больше 1.

2. t2 = -1/2: cos(x) = -1/2

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие этому уравнению. Обратите внимание, что cos(x) = -1/2 соответствует углам 2π/3 и 4π/3 в стандартной системе координат. Таким образом, у нас есть два решения:

x1 = 2π/3 x2 = 4π/3

Итак, решения исходного уравнения:

x1 = 2π/3 x2 = 4π/3